数学 › 偏微分方程式 › ラプラス方程式と調和関数
平均値の性質
、 とする。 が調和なら
であり、 が劣調和なら 、 である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 93 件、定義なども含めて 111 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分 この先をたどる →
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
- の での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
- は で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
- 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数
回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 6 件
- 連続な劣調和関数の最大値原理✓補題 5.1・束縛電子数の上界と Thomas–Fermi 理論
- Newton の定理✓補題 2.3・2 電子原子と臨界核電荷
- 平均値の性質の逆と滑らかさ✓定理 3.3・ラプラス方程式と調和関数
- 強最大値原理✓定理 4.1・ラプラス方程式と調和関数
- Harnack の不等式✓定理 5.1・ラプラス方程式と調和関数
- Darboux の方程式✓補題 3.1・波動方程式