数学 › 偏微分方程式 › ラプラス方程式と調和関数
Harnack の不等式
を開集合、 を連結な開集合で がコンパクトかつ とする。このとき だけで決まる定数 があって、 上の非負の調和関数 はすべて
を満たす。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 112 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
平均値の性質✓定理 3.2・ラプラス方程式と調和関数
n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分 この先をたどる →
- チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数
回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。