Green 関数と Poisson 核

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域とする。各 $x\in\Omega$ について、$\varphi^x\in C^2(\bar\Omega)$ が $\Omega$ で調和、$\partial\Omega$ 上で $\varphi^x(y)=\Phi(y-x)$ を満たすとする（補正関数）。このとき

を $\Omega$ の Green 関数、$K(x,y)=-\partial_{\nu_y}G(x,y)$（$y\in\partial\Omega$）を Poisson 核という。