数学 › 微分幾何学 › 熱核の漸近展開

誤差の評価

補題 3.4（「熱核の漸近展開」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 112 件、定義なども含めて 134 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開

  • Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
      • Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
  • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
    • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

      • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
      • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
  • 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
• 輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開

  • 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開

    • 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性

      • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
      • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
    • 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性

      • Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性 この先をたどる →
    • Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性

      • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
      • 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
    • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性

      • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
      • 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性 この先をたどる →
      • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
    • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

      • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
      • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

      • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開