関数の Laplacian と Dirac 型作用素の 2 乗
- 自明な直線束 （、）では （関数の Laplacian）である。
- を Clifford 加群、 をその Dirac 型作用素とする（定義 5.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。Weitzenböck 公式 （定理 5.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）の曲率項 は各点で自己共役である。したがって は Laplace 型作用素である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 30 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
- Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
- Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理 この先をたどる →
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 3 件
- 係数の局所性と普遍性✓命題 6.4・熱核の漸近展開
- 熱核の局所展開（Minakshisundaram–Pleijel）✓定理 7.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Dirac 型作用素の熱核の小時間展開✓定理 3.7・指数定理