数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

多様体上の軟化作用素

補題 8.5（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§8）・ ✓公理まで証明済み

$E$ を計量束とし、上の座標と枠を固定する。各 $\alpha$ について $a_\alpha,b_\alpha$ を $U_\alpha$ にコンパクトな台をもつ実数値の滑らかな関数とし、 $u\in L^2(E)$ に対して

G_\varepsilon u=\sum_\alpha a_\alpha\sum_a\bigl(\rho_\varepsilon*(b_\alpha u^a)\bigr)e_a

と定める（成分は $\alpha$ 番目の座標と枠で取り、 $b_\alpha u^a$ は $\Omega_\alpha$ の外で $0$ に延ばす）。 $\varepsilon_0\gt0$ と $C$ があって、 $0\lt\varepsilon\lt\varepsilon_0$ について次が成り立つ。

$G_\varepsilon u\in\Gamma(E)$ で、 $\|G_\varepsilon u\|\le C\|u\|$ 。
$\sum_\alpha a_\alpha b_\alpha=1$ なら、 $\varepsilon\to0$ で $G_\varepsilon u\to u$ （ $L^2$ ）。とくに $\Gamma(E)$ は $L^2(E)$ で稠密である。
$G_\varepsilon$ の $L^2$ 随伴は $G_\varepsilon^*v=\sum_\alpha b_\alpha\mu_\alpha^{-1}\sum_a\bigl(\rho_\varepsilon*(a_\alpha\mu_\alpha v^a)\bigr)e_a$ で、 $a_\alpha,b_\alpha$ を $b_\alpha\mu_\alpha^{-1}$ 、 $a_\alpha\mu_\alpha$ に替えた同じ形の作用素である。
$P\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)$ が 1 階の微分作用素（各 $U_\alpha$ の成分で $Pu=\sum_iA_i\partial_iu+Bu$ 、 $A_i,B$ は滑らかな行列値関数）なら、 $u\in\Gamma(E)$ について $\|PG_\varepsilon u-G_\varepsilon Pu\|\le C\|u\|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 82 件、定義なども含めて 96 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
- $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
    第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間
    コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間この先をたどる →
    一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間この先をたどる →
    コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
    ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性この先をたどる →
  - ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
Friedrichs の補題✓補題 8.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- Schur テスト✓定理 5.1・作用素不等式と積分作用素
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開
弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

多様体上の軟化作用素

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件