マッキーン・シンガーの公式

$H = H^{+}\oplus H^{-}$ を $\mathbb{Z}/2$ 次数付きヒルベルト空間、$\gamma = 1 \oplus (-1)$ を次数作用素とします。$D$ を $H$ 上の自己共役作用素で $D\gamma = -\gamma D$（すなわち $D = \begin{pmatrix} 0 & D^{-} \\ D^{+} & 0\end{pmatrix}$）を満たし、$D$ はコンパクトレゾルベントをもち、さらに各 $t > 0$ に対して $e^{-tD^2}$ がトレースクラスであるとします。このとき $D^{+}$ はフレドホルムであり、すべての $t > 0$ に対して

が成り立ちます。同様に、$(1+D^{2})^{-s}$ がトレースクラスになる $\operatorname{Re}(s)$ が十分大きい領域では $\operatorname{ind}(D^{+}) = \operatorname{Tr}\bigl(\gamma\,(1+D^{2})^{-s}\bigr)$ が成り立ちます。