正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子

0. この記事の要点

射影空間のような「閉じた」複素の空間の上には、定数以外の正則関数がありません。そこで「各点に数のかたまりを一つずつ貼り付けた束」の上の、局所的には関数に見えるものを調べます。この記事を読むと、その束の曲がり具合を微分形式で測る方法と、多項式の零点や重複度を直線束に結びつける方法が分かります。下の箇条書きは、この記事の結論を専門用語のまま並べた一覧です。最初は読み飛ばして、各節の本文から読んでも構いません。

• 正則ベクトル束は、変換関数が正則なベクトル束です。変換関数が正則なので、成分ごとの $\bar\partial$ が枠の取り方によらずに定まり、作用素 $\bar\partial_E$（$\bar\partial_E^2=0$）が得られます。正則切断は $\bar\partial_Es=0$ を満たす切断で、$E$ 係数の Dolbeault コホモロジー $H^{p,q}(X,E)$ が定義できます。
• 正則ベクトル束に Hermite 計量 $h$ を与えると、計量と両立し $(0,1)$ 部分が $\bar\partial_E$ である接続がただ一つ定まります（Chern 接続）。正則枠で接続形式は $H^{-1}\partial H$、曲率は $\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ で $(1,1)$ 型です。直線束では曲率は $-\partial\bar\partial\log h$ です。
• $\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式で、その de Rham 類は計量によらず第一 Chern 類 $c_1(E)$ です。$c_1$ は正則直線束の同型類の群 $\operatorname{Pic}(X)$（Picard 群。直線束どうしをテンソル積で掛け算する群）からの準同型です。
• $\mathbb{P}^n$ 上の直線束 $\mathcal{O}(k)$ の正則切断は $k$ 次斉次多項式で、標準束は $K_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ です。非特異な超曲面 $Y\subseteq X$ については随伴公式 $K_Y\cong(K_X\otimes\mathcal{O}(Y))|_Y$ が成り立ち、次数 $d$ の射影超曲面の標準束は $\mathcal{O}(d-n-1)|_Y$ になります。
• 因子（局所的な有理型関数の族で、比が零点をもたない正則関数であるもの）は直線束 $\mathcal{O}(D)$ を定め、$D\mapsto\mathcal{O}(D)$ は準同型で核は主因子です。有理型切断をもつ直線束はすべてこの形です。
• Poincaré–Lelong の公式：非特異な超曲面 $D$ と閉形式 $\alpha$ について $\int_D\alpha=\int_Xc_1(\mathcal{O}(D))\wedge\alpha$。Riemann 面では、直線束の次数 $\int_Xc_1(L)$ が正則切断の零点の個数に等しくなります。

この記事で使う事前知識

• ベクトル束: 多様体の各点に（複素）ベクトル空間を一つずつ貼り付け、貼り方が滑らかに変わるようにしたもの。→ ベクトル束
• 接続と曲率: 束の切断を微分する規則が接続で、その微分が可換でないことを測る 2 形式が曲率。→ ファイバー束・主束と接続
• Chern 類: 曲率の多項式から作る閉形式の de Rham 類で、束のねじれを表す。→ Chern 類
• Dolbeault コホモロジー: $\bar\partial$ で閉じた $(p,q)$ 形式を、$\bar\partial$ で書ける形式を除いて数えたもの。→ Dolbeault コホモロジー
• 有理型関数: 局所的に正則関数の比で書ける関数で、極をもってよい。→ 有理型関数

1. 動機

連結なコンパクト複素多様体の上には、定数以外の正則関数がありません（複素多様体と正則写像）。それでも射影空間には斉次多項式という豊富な対象があります。斉次多項式 $P$ は $\mathbb{P}^n$ 上の関数ではありません（$P(\lambda z)=\lambda^kP(z)$ なので値が定まらない）が、「零点集合」は定まり、二つの同次数の多項式の比は有理型関数になります。このような「関数ではないが、局所的には関数で、貼り合わせに決まった因子が掛かるもの」を正確に扱う言葉が、正則直線束の切断です。

直線束を調べる道具は二つあります。一つは微分幾何で、Hermite 計量を入れると Chern 接続という標準的な接続が定まり、その曲率が直線束の「ねじれ」を $(1,1)$ 形式として表します。もう一つは因子で、切断の零点と極を重複度つきで記録したものです。この二つは Poincaré–Lelong の公式で結ばれます。曲率を積分すると零点が数えられる、というのがその内容です。

この章で準備したものは、後の章で次のように使います。束係数の Hodge 理論（第 5 章）は $\bar\partial_E$ と Chern 接続の上に組み立てます。$\operatorname{Pic}(X)$ を層コホモロジー $H^1(X,\mathcal{O}^{*})$ と同一視する（第 6 章）ときの出発点は、変換関数のコサイクルです。Kodaira の消滅定理と埋め込み定理（第 7 章）は、曲率形式 $\frac{i}{2\pi}F$ が正である直線束についての定理です。

2. 正則ベクトル束

この節は、ふつうのベクトル束の「貼り合わせの規則（変換関数）」に正則性を課すだけの話です。次の定義は長いですが、要は、貼り合わせの規則が正則なら、切断が正則かどうかを自明化の取り方によらず判定できる、ということです。

定義 2.1（正則ベクトル束と正則切断）↗

$X$ を複素多様体とする。階数 $r$ の複素ベクトル束（定義 2.1［ファイバー束・主束と接続］）$\pi:E\to X$ と、局所自明化の族 $\Phi_\alpha:\pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times\mathbb{C}^r$（$\{U_\alpha\}$ は開被覆）で、変換関数

$$g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to GL_r(\mathbb{C}),\qquad\Phi_\alpha\circ\Phi_\beta^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha\beta}(x)v)$$

がすべて正則写像であるものの組を正則ベクトル束という。$r=1$ のとき正則直線束という。このような局所自明化と、それらと正則な変換関数で結ばれる局所自明化を正則な局所自明化といい、対応する枠 $e_i(x)=\Phi_\alpha^{-1}(x,\boldsymbol{e}_i)$（$\boldsymbol{e}_i$ は標準基底）を正則枠という。開集合 $U$ 上の切断 $s$ が正則切断であるとは、正則な局所自明化での成分 $s_\alpha:U\cap U_\alpha\to\mathbb{C}^r$（$\Phi_\alpha(s(x))=(x,s_\alpha(x))$）が正則であることをいう。$U$ 上の正則切断の全体を $H^0(U,E)$ と書く。正則ベクトル束の間の束準同型が正則であるとは、正則な局所自明化で正則な行列値関数で表されることをいう。

切断の成分は $U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_\beta$ を満たします。$g_{\alpha\beta}$ が正則なので、正則性は自明化の取り方によりません。全空間 $E$ は、$U_\alpha$ の正則チャートと $\Phi_\alpha$ を合わせたチャート $\pi^{-1}(U_\alpha)\to\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^r$ により複素多様体になります（変換関数は $(x,v)\mapsto(x,g_{\alpha\beta}(x)v)$ と $X$ の変換関数の組で、正則です）。$\pi$ は正則写像で、正則切断は正則写像 $s:U\to E$ で $\pi\circ s=\mathrm{id}$ となるものと同じです。

補題 2.2（正則コサイクルと正則ベクトル束）✓

$X$ を複素多様体、$\{U_\alpha\}$ を開被覆とする。

1. 正則写像 $g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to GL_r(\mathbb{C})$ の族がコサイクル条件 $g_{\alpha\alpha}=1$、$g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}$（$U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma$ 上）を満たせば、これを変換関数とする正則ベクトル束がある。
2. 同じ被覆の上の二つの正則コサイクル $g_{\alpha\beta},g'_{\alpha\beta}$ が定める正則ベクトル束 $E,E'$ について、正則な同型 $E\to E'$ は、正則写像 $f_\alpha:U_\alpha\to GL_r(\mathbb{C})$ の族で $g'_{\alpha\beta}=f_\alpha\,g_{\alpha\beta}\,f_\beta^{-1}$ を満たすものと一対一に対応する。
3. 正則直線束 $L$ が自明束 $X\times\mathbb{C}$ に正則に同型であることと、零点をもたない正則切断 $s\in H^0(X,L)$ が存在することは同値である。

証明（補題 2.2）

(1) コサイクルからの再構成（命題 2.2［ファイバー束・主束と接続］、$G=GL_r(\mathbb{C})$、$F=\mathbb{C}^r$）により、$g_{\alpha\beta}$ を変換関数とするベクトル束 $E$ と局所自明化 $\Phi_\alpha$ が得られます。変換関数が正則なので、定義により正則ベクトル束です。

(2) 束の同型 $\phi:E\to E'$ は、自明化で $\Phi'_\alpha\circ\phi\circ\Phi_\alpha^{-1}(x,v)=(x,f_\alpha(x)v)$ と表され、$\phi$ が正則であることは $f_\alpha$ が正則であることです。$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で、$E$ の元の成分は $v_\alpha=g_{\alpha\beta}v_\beta$、その像の成分は $f_\alpha v_\alpha=g'_{\alpha\beta}f_\beta v_\beta$ を満たすので、$f_\alpha g_{\alpha\beta}=g'_{\alpha\beta}f_\beta$ です。逆に、この関係を満たす $f_\alpha$ は $v_\alpha\mapsto f_\alpha v_\alpha$ により矛盾なく束の同型を定めます。

(3) 同型 $\phi:X\times\mathbb{C}\to L$ があれば、$s(x)=\phi(x,1)$ は零点をもたない正則切断です。逆に、零点をもたない正則切断 $s$ に対し $\phi(x,c)=c\,s(x)$ は各ファイバーで同型な束準同型で、自明化で $c\mapsto c\,s_\alpha(x)$ と表されるので正則、逆写像も $v_\alpha\mapsto v_\alpha/s_\alpha(x)$ で正則です。

∎

束の演算。 正則ベクトル束 $E,E'$ の直和 $E\oplus E'$、テンソル積 $E\otimes E'$、双対 $E^{*}$（定義 2.3［ファイバー束・主束と接続］、命題 2.4［ファイバー束・主束と接続］）の変換関数 $g\oplus g'$、$g\otimes g'$、$(g^{\mathsf{T}})^{-1}$ は正則なので、これらは正則ベクトル束です。同様に、外積 $\Lambda^kE$（変換関数は $g$ の $k$ 次小行列式の行列）、とくに行列式束 $\det E=\Lambda^rE$（変換関数 $\det g_{\alpha\beta}$）、正則写像 $F:Y\to X$ による引き戻し $F^{*}E$（被覆 $\{F^{-1}(U_\alpha)\}$ と変換関数 $g_{\alpha\beta}\circ F$）、複素部分多様体 $Y\subseteq X$ への制限 $E|_Y$（包含写像による引き戻し）も正則ベクトル束です。直線束 $L$ については、$L^{k}$（$k\in\mathbb{Z}$）で変換関数 $g_{\alpha\beta}^k$ の直線束を表し、$L^{-1}=L^{*}$ です。

定義 2.3（Picard 群）↗

複素多様体 $X$ 上の正則直線束の正則な同型類の全体を $\operatorname{Pic}(X)$ と書く。テンソル積を積、自明束 $X\times\mathbb{C}$ の類を単位元、双対を逆元として、$\operatorname{Pic}(X)$ は可換群になる。これを Picard 群という。

群になることは、変換関数で見れば、零点をもたない正則関数の積 $g_{\alpha\beta}g'_{\alpha\beta}$ と逆数 $g_{\alpha\beta}^{-1}$ についての主張で、$L\otimes L^{*}$ の変換関数が $1$ であることから従います（二つの直線束を比べるときは、被覆の共通の細分を取ります）。

定義 2.4（正則接束・標準束・法束）↗

$X$ を $n$ 次元複素多様体とする。

1. 正則チャート $(U_\alpha,z^\alpha)$ の上で $\partial/\partial z^\alpha_1,\dots,\partial/\partial z^\alpha_n$ を正則枠とする $T^{1,0}X$ を正則接束といい、$TX$ と書く。変換関数は複素 Jacobi 行列 $J_{\alpha\beta}=\bigl(\partial z^\alpha_i/\partial z^\beta_j\bigr)$ である。双対束 $T^{*}X$ を正則余接束といい、$\Omega^p_X=\Lambda^pT^{*}X$ と書く。$\Omega^p_X$ の正則切断は正則 $p$ 形式である。
2. $K_X=\Lambda^nT^{*}X=\det T^{*}X$ を標準束という。$dz^\alpha_1\wedge\dots\wedge dz^\alpha_n$ が正則枠で、変換関数は $(\det J_{\alpha\beta})^{-1}$ である。
3. $Y\subseteq X$ を閉な複素部分多様体とする。$TY$ は $TX|_Y$ の正則な部分束で、商 $N_{Y/X}=TX|_Y/TY$ を法束という。

(1) の変換関数は、$\partial/\partial z^\beta_j=\sum_i(\partial z^\alpha_i/\partial z^\beta_j)\,\partial/\partial z^\alpha_i$ から、成分について $v_\alpha=J_{\alpha\beta}v_\beta$ となることによります。実の接束 $TX$ は $v\mapsto\frac12(v-iJv)$ により $T^{1,0}X$ と複素線型に同型（補題 2.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］ の 1）なので、同じ記号で書きます。(2) は、$\eta=\eta_\alpha\,dz^\alpha_1\wedge\dots\wedge dz^\alpha_n$ と $dz^\beta_1\wedge\dots\wedge dz^\beta_n=\det(\partial z^\beta/\partial z^\alpha)\,dz^\alpha_1\wedge\dots\wedge dz^\alpha_n$ から $\eta_\alpha=(\det J_{\alpha\beta})^{-1}\eta_\beta$ となることによります。(3) の法束の変換関数は、$Y$ に適合したチャート（$Y=\{z_{k+1}=\dots=z_n=0\}$）で $J_{\alpha\beta}$ がブロック三角行列になるので、その右下のブロックです。

3. 作用素 ∂̄_E と束係数の Dolbeault コホモロジー

$E$ を複素多様体 $X$ 上の正則ベクトル束とします。$\Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes E$ の滑らかな切断の全体を $A^{p,q}(E)$（$E$ 係数の $(p,q)$ 形式）、$\Lambda^kT^{*}X\otimes\mathbb{C}\otimes E$ の滑らかな切断の全体を $A^k(E)$ と書きます。$A^0(E)$ は $E$ の滑らかな切断の空間です。正則枠 $e_1,\dots,e_r$ を取ると、$A^{p,q}(E)$ の元は $\sum_i\alpha^i\otimes e_i$（$\alpha^i$ は $(p,q)$ 形式）と一意に書けます。形式 $\beta\in A^k(X)$ と $\sigma=\sum\alpha^i\otimes e_i$ のウェッジ積を $\beta\wedge\sigma=\sum(\beta\wedge\alpha^i)\otimes e_i$ で定めます。

命題 3.1（正則ベクトル束の ∂̄ 作用素）✓

正則ベクトル束 $E$ に対し、複素線型作用素 $\bar\partial_E:A^{p,q}(E)\to A^{p,q+1}(E)$（すべての $p,q$）で次を満たすものがただ一つ存在する。

1. （Leibniz 則）$\beta\in A^k(X)$、$\sigma\in A^{p,q}(E)$ について $\bar\partial_E(\beta\wedge\sigma)=\bar\partial\beta\wedge\sigma+(-1)^k\beta\wedge\bar\partial_E\sigma$。
2. 開集合上の正則切断 $s$ について $\bar\partial_Es=0$（$\bar\partial_E$ は局所的な作用素で、開集合への制限と可換とする）。

この $\bar\partial_E$ は $\bar\partial_E^2=0$ を満たし、正則枠 $e_i$ について $\bar\partial_E(\sum\alpha^i\otimes e_i)=\sum\bar\partial\alpha^i\otimes e_i$ で与えられる。滑らかな切断 $s\in A^0(E)$ が正則切断であることと $\bar\partial_Es=0$ は同値である。

証明（命題 3.1）

一意性。 正則枠 $e_i$ は正則切断なので、条件 1・2 から $\bar\partial_E(\alpha^i\otimes e_i)=\bar\partial\alpha^i\otimes e_i+(-1)^{p+q}\alpha^i\wedge\bar\partial_Ee_i=\bar\partial\alpha^i\otimes e_i$ で、$\bar\partial_E$ は主張の式で決まります。

存在。 正則な局所自明化 $\Phi_\alpha$ の上で、成分のベクトル $\sigma_\alpha=(\alpha^1,\dots,\alpha^r)^{\mathsf{T}}$ に対して $(\bar\partial_E\sigma)_\alpha=\bar\partial\sigma_\alpha$（成分ごと）と定めます。$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $\sigma_\alpha=g_{\alpha\beta}\sigma_\beta$ で、$g_{\alpha\beta}$ の成分は正則関数なので $\bar\partial g_{\alpha\beta}=0$、したがって Leibniz 則から

$$\bar\partial\sigma_\alpha=\bar\partial(g_{\alpha\beta}\sigma_\beta)=g_{\alpha\beta}\,\bar\partial\sigma_\beta$$

です。よって $\bar\partial\sigma_\alpha$ たちは $E$ 係数の形式の成分の変換則に従い、$\bar\partial_E\sigma\in A^{p,q+1}(E)$ が矛盾なく定まります。条件 1 は成分ごとの $\bar\partial$ の Leibniz 則、条件 2 は正則切断の成分が正則関数であることから従います。$\bar\partial_E^2=0$ は $\bar\partial^2=0$（定理 4.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］）から、最後の主張は、$\bar\partial s_\alpha=0$ が $s_\alpha$ の成分が正則関数であることと同値であること（命題 5.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］ の 1）から従います。

∎

$\partial$ については同じことができません。$\partial g_{\alpha\beta}\ne0$ なので、成分ごとの $\partial$ は枠の取り方に依存します。これを補うのが次節の Hermite 計量です。逆に、複素ベクトル束の上に Leibniz 則と $\bar\partial_E^2=0$ を満たす作用素があれば正則ベクトル束の構造が定まること（Koszul–Malgrange の定理）が知られていますが、ここでは扱いません。

定義 3.2（束係数の Dolbeault コホモロジー）↗

正則ベクトル束 $E$ に対して

$$H^{p,q}(X,E)=\frac{\ker\bigl(\bar\partial_E:A^{p,q}(E)\to A^{p,q+1}(E)\bigr)}{\operatorname{im}\bigl(\bar\partial_E:A^{p,q-1}(E)\to A^{p,q}(E)\bigr)}$$

を $E$ 係数の Dolbeault コホモロジーという。$H^{0,0}(X,E)=H^0(X,E)$ は正則切断の空間である。

$A^{p,q}(E)=A^{0,q}(\Omega^p_X\otimes E)$ で、$\Omega^p_X$ の正則枠 $dz_I$ について $\bar\partial(dz_I)=0$ なので、両辺の $\bar\partial$ 作用素は符号 $(-1)^p$ を除いて一致し、$H^{p,q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,\Omega^p_X\otimes E)$ です。

4. Hermite 計量と Chern 接続

定義 4.1（Hermite 計量・接続・曲率）↗

複素ベクトル束 $E$ の Hermite 計量 $h$ とは、各ファイバー $E_x$ 上の正定値 Hermite 内積 $h_x$（第 1 変数について線型、第 2 変数について共役線型）の族で、滑らかな切断 $s,t$ について $h(s,t)$ が滑らかな関数になるものをいう。枠 $e_1,\dots,e_r$ について $H=(H_{ij})$、$H_{ij}=h(e_j,e_i)$ とおくと、$H$ は正定値 Hermite 行列に値を取る関数で、成分のベクトルについて $h(s,t)=t^{*}Hs$ である。

$E$ の接続とは、複素線型写像 $\nabla:A^0(E)\to A^1(E)$ で $\nabla(fs)=df\otimes s+f\nabla s$ を満たすものをいう。枠について $\nabla e_j=\sum_iA^i{}_j\otimes e_i$ で接続形式 $A=(A^i{}_j)$（1 形式を成分とする行列）を定めると、成分について $\nabla s=ds+As$ である。$F=dA+A\wedge A$ を曲率形式という。$h(s,t)$ を形式係数の切断にも、形式の部分はウェッジ積として延ばす。接続が計量と両立するとは、$d\,h(s,t)=h(\nabla s,t)+h(s,\nabla t)$ がすべての $s,t\in A^0(E)$ で成り立つことをいう。

枠を $e'_j=\sum_ig^i{}_je_i$ と取り替えると、成分は $s=gs'$、接続形式は $A'=g^{-1}Ag+g^{-1}dg$、曲率形式は $F'=g^{-1}Fg$、計量の行列は $H'=g^{*}Hg$ と変わります（定理 4.3［ファイバー束・主束と接続］、命題 5.1［ファイバー束・主束と接続］）。したがって $F$ は $\operatorname{End}(E)$ に値を取る大域的な 2 形式で、$\operatorname{tr}F$ は $X$ 上の 2 形式です。Hermite 計量は、局所自明化の上の標準的な計量を 1 の分割（定理 6.3［部分多様体と正則値定理］）で足し合わせれば作れます（正定値 Hermite 形式の非負係数の和で、係数の和が $1$ のものは正定値 Hermite 形式です）。

定理 4.2（Chern 接続の存在と一意性）✓

$E$ を複素多様体 $X$ 上の正則ベクトル束、$h$ を $E$ の Hermite 計量とする。$E$ の接続 $\nabla$ で

1. 計量 $h$ と両立し、
2. $\nabla s$ の $(0,1)$ 成分が $\bar\partial_Es$ に等しい（$\nabla^{0,1}=\bar\partial_E$）

ものがただ一つ存在する。これを $(E,h)$ の Chern 接続という。正則枠についての接続形式は

$$A=H^{-1}\partial H$$

である。

次の証明の方針です。正則枠を一つ取り、接続形式 $A$ を行列値の 1 形式として書きます。条件 2 は「$A$ の成分が $(1,0)$ 型」と言い換えられ、条件 1 は行列の等式 $dH=HA+A^{*}H$ になります。この等式を $(1,0)$ 部分と $(0,1)$ 部分に分けると、$A$ が $H$ から一通りに決まります。あとは、枠ごとに作った接続が重なりで一致することを見て貼り合わせます。

証明（定理 4.2）

局所的な一意性。 開集合 $U$ 上の正則枠 $e_i$ を取り、$U$ 上の接続 $\nabla$ の接続形式を $A$ とします。成分について $\nabla s=ds+As$ で、$(0,1)$ 成分は $\bar\partial s+A^{0,1}s$ です。一方 $\bar\partial_Es$ の成分は $\bar\partial s$ です（命題 3.1）。よって条件 2 は $A^{0,1}=0$、つまり $A$ の成分がすべて $(1,0)$ 型であることと同値です。

条件 1 を成分で書きます。$h(s,t)=t^{*}Hs$ なので

$$d(t^{*}Hs)=(dt)^{*}Hs+t^{*}(dH)s+t^{*}H\,ds,\qquad h(\nabla s,t)+h(s,\nabla t)=t^{*}H(ds+As)+(dt+At)^{*}Hs$$

で、右の式は $t^{*}H\,ds+t^{*}HAs+(dt)^{*}Hs+t^{*}A^{*}Hs$ です（$A^{*}$ は共役転置で、形式の部分も共役を取ります）。すべての $s,t$ で両者が等しいことは

$$dH=HA+A^{*}H$$

と同値です。$A$ が $(1,0)$ 型なら $A^{*}$ は $(0,1)$ 型なので、型ごとに比べて $\partial H=HA$、$\bar\partial H=A^{*}H$ となります。前者から $A=H^{-1}\partial H$ で、$A$ は $h$ と枠から決まります。

局所的な存在。 逆に $A=H^{-1}\partial H$ とおくと、$A$ は $(1,0)$ 型で $\partial H=HA$ です。$H^{*}=H$ なので $(\partial H)^{*}=\bar\partial(H^{*})=\bar\partial H$、また $(H^{-1})^{*}=H^{-1}$ から $A^{*}=(\partial H)^{*}(H^{-1})^{*}=\bar\partial H\cdot H^{-1}$、したがって $A^{*}H=\bar\partial H$ です。よって $dH=\partial H+\bar\partial H=HA+A^{*}H$ で、条件 1・2 が成り立ちます。

大域的な存在と一意性。 正則枠をもつ開集合 $U_\alpha$ で $X$ を覆い、各 $U_\alpha$ 上で上の接続 $\nabla^\alpha$ を作ります。$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $\nabla^\alpha$ と $\nabla^\beta$ はどちらも条件 1・2 を満たすので、局所的な一意性（$U_\alpha$ の正則枠を $U_\alpha\cap U_\beta$ に制限して使う）により一致します。よって貼り合わさって $X$ 上の接続になります。$X$ 上の接続が条件 1・2 を満たせば、各 $U_\alpha$ への制限も満たすので、一意です。

∎

Levi-Civita 接続が「計量と両立し、捩率が $0$」で決まったのと同じ形の定理です。捩率の条件の代わりに、正則構造との両立 $\nabla^{0,1}=\bar\partial_E$ が接続の残りの自由度を消します。Chern 接続を $\nabla=\nabla^{1,0}+\bar\partial_E$ と分けると、$\nabla^{1,0}$ が「計量を使って定めた $\partial$」です。

命題 4.3（Chern 接続の曲率）✓

$(E,h)$ を Hermite 正則ベクトル束、$F$ をその Chern 接続の曲率とする。

1. 正則枠について $F=\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ で、$F$ は $(1,1)$ 型である。
2. $\operatorname{tr}F=\bar\partial\partial\log\det H=-\partial\bar\partial\log\det H$ である。とくに直線束では、正則枠 $e$ について $h=h(e,e)>0$ と書くと $F=-\partial\bar\partial\log h$ である。
3. $\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F$ は $X$ 上の閉じた実 $(1,1)$ 形式である。

証明（命題 4.3）

(1) $A=H^{-1}\partial H$ について $F=dA+A\wedge A=\bar\partial A+(\partial A+A\wedge A)$ です。$H^{-1}H=I$ を微分して $\partial(H^{-1})=-H^{-1}(\partial H)H^{-1}$ なので

$$\partial A=\partial(H^{-1})\wedge\partial H+H^{-1}\partial\partial H=-H^{-1}(\partial H)H^{-1}\wedge\partial H=-A\wedge A$$

です。よって $F=\bar\partial A=\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ で、$(1,0)$ 形式の $\bar\partial$ なので $(1,1)$ 型です。

(2) 行列式の微分の公式 $\partial\det H=\det H\cdot\operatorname{tr}(H^{-1}\partial H)$（余因子展開による）から $\operatorname{tr}A=\partial\log\det H$ です。$\det H>0$ なので対数は実数値の滑らかな関数です。よって $\operatorname{tr}F=\bar\partial\operatorname{tr}A=\bar\partial\partial\log\det H$ で、$\partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0$ から $-\partial\bar\partial\log\det H$ に等しいです。直線束では $H=h$ です。

(3) $\varphi=\log\det H$ は実数値なので、$\overline{i\,\bar\partial\partial\varphi}=-i\,\partial\bar\partial\varphi=i\,\bar\partial\partial\varphi$ で、$\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F$ は実形式です。$d(\bar\partial\partial\varphi)=\partial\bar\partial\partial\varphi+\bar\partial\bar\partial\partial\varphi=-\bar\partial\partial\partial\varphi+0=0$ なので閉形式です。$\operatorname{tr}F$ は枠によらない（$F'=g^{-1}Fg$）ので $X$ 上で定まっています。

∎

定義 4.4（第一 Chern 形式）↗

Hermite 正則ベクトル束 $(E,h)$ に対し、Chern 接続の曲率 $F_h$ から作った実 $(1,1)$ 形式

$$c_1(E,h)=\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F_h$$

を第一 Chern 形式という。局所的には $c_1(E,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log\det H$ である。

定理 4.5（第一 Chern 類）✓

$X$ を複素多様体とする。

1. 正則ベクトル束 $E$ の Hermite 計量 $h,h'$ について、$c_1(E,h')-c_1(E,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\phi=d\bigl(\frac{i}{2\pi}\partial\phi\bigr)$ である。ここで $\phi=\log(\det H'/\det H)$ は $X$ 上の実数値の滑らかな関数である。したがって de Rham 類 $[c_1(E,h)]\in H^2_{\mathrm{dR}}(X)$ は $h$ によらず、Chern–Weil 理論の第一 Chern 類 $c_1(E)$（定義 3.1［Chern–Weil 理論と特性類］）に等しい。また $c_1(E,h)=c_1(\det E,\det h)$ である。
2. Hermite 正則直線束 $(L,h)$、$(L',h')$ について、$L\otimes L'$ に計量 $hh'$、$L^{*}$ に計量 $h^{-1}$、正則写像 $f:Y\to X$ による引き戻し $f^{*}L$ に計量 $h\circ f$ を入れると

$$c_1(L\otimes L',hh')=c_1(L,h)+c_1(L',h'),\qquad c_1(L^{*},h^{-1})=-c_1(L,h),\qquad c_1(f^{*}L,h\circ f)=f^{*}c_1(L,h)$$

が形式の等式として成り立つ。自明束に定数の計量を入れると第一 Chern 形式は $0$ である。 3. したがって $c_1:\operatorname{Pic}(X)\to H^2_{\mathrm{dR}}(X)$、$[L]\mapsto c_1(L)$ は群準同型で、正則写像による引き戻しと可換である。

証明（定理 4.5）

(1) 正則枠を取り替えると $H$ は $g^{*}Hg$ に変わり、$\det H$ は $|\det g|^2\det H$ になります。$H'$ も同じ因子で変わるので、比 $\det H'/\det H$ は枠によらない $X$ 上の正の関数です。命題 4.3 の 2 から

$$c_1(E,h')-c_1(E,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial(\log\det H'-\log\det H)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\phi$$

で、$d(\partial\phi)=\partial\partial\phi+\bar\partial\partial\phi=-\partial\bar\partial\phi$ なので右辺は $d\bigl(\frac{i}{2\pi}\partial\phi\bigr)$ です。Chern 接続は計量と両立する接続なので、$\frac{i}{2\pi}\operatorname{tr}F_h$ は定義（定義 3.1［Chern–Weil 理論と特性類］）により $c_1(E)$ を代表し、類が接続によらないことは Chern–Weil の定理（定理 2.3［Chern–Weil 理論と特性類］）のとおりです。$\det E$ の正則枠 $e_1\wedge\dots\wedge e_r$ についての $\det h$ の値は $\det H$ なので、$c_1(\det E,\det h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log\det H=c_1(E,h)$ です。

(2) $L,L'$ の正則枠 $e,e'$ について、$L\otimes L'$ の正則枠 $e\otimes e'$ のノルムの 2 乗は $hh'$、$L^{*}$ の双対枠のノルムの 2 乗は $h^{-1}$、$f^{*}L$ の枠 $e\circ f$ のノルムの 2 乗は $h\circ f$ です。$\log(hh')=\log h+\log h'$、$\log h^{-1}=-\log h$ と、正則写像による引き戻しが $\partial$、$\bar\partial$ と可換であること（命題 5.2［概複素構造と Dolbeault コホモロジー］ の 2 とその共役）から、命題 4.3 の 2 の式に代入して従います。自明束で $h$ が定数なら $\partial\bar\partial\log h=0$ です。

(3) 同型な直線束は、同型で計量を移せば同じ Chern 形式をもつので、$c_1$ は同型類で決まります。(1) により類は計量によらないので、(2) から準同型であること、引き戻しと可換であることが従います。

∎

(1) の式は、同じ直線束の二つの Chern 形式の差がつねに $\partial\bar\partial$ 完全であることを示しています。コンパクト Kähler 多様体では逆に、$c_1(L)$ を代表する任意の閉実 $(1,1)$ 形式が、ある計量の Chern 形式として実現されます（第 5 章の $\partial\bar\partial$ 補題による）。

5. 射影空間上の直線束

$\mathbb{P}^n$（$n\ge1$）の斉次座標を $[z_0:\dots:z_n]$、標準的な被覆を $U_j=\{z_j\ne0\}$ とします（命題 4.4［複素多様体と正則写像］）。$z_k/z_j$ は $U_j$ 上の正則関数で、$U_j\cap U_k$ 上では零点をもちません。

直感的には、$\mathcal{O}(-1)$ は「$\mathbb{P}^n$ の各点 $[z]$ の上に、その点が表す直線 $\mathbb{C}z$ 自身を乗せた束」です。次の変換関数は、この束を座標で書いたものになっています（本節の定義のあとで確かめます）。

定義 5.1（トートロジー直線束 𝒪(−1) と 𝒪(k)）↗

整数 $k$ に対し、被覆 $\{U_j\}$ の上の正則コサイクル

$$g_{jk}=\Bigl(\frac{z_k}{z_j}\Bigr)^k\qquad(U_j\cap U_k\text{ 上})$$

が定める $\mathbb{P}^n$ 上の正則直線束（補題 2.2 の 1）を $\mathcal{O}(k)$ と書く。$\mathcal{O}(0)=\mathcal{O}$ は自明束、$\mathcal{O}(k)\otimes\mathcal{O}(l)=\mathcal{O}(k+l)$、$\mathcal{O}(k)^{*}=\mathcal{O}(-k)$ である。$\mathcal{O}(-1)$ をトートロジー直線束、$\mathcal{O}(1)$ を超平面束という。

$\mathcal{O}(-1)$ の全空間は $\{([z],v)\in\mathbb{P}^n\times\mathbb{C}^{n+1}:v\in\mathbb{C}z\}$、つまり点 $[z]$ の上のファイバーが直線 $\mathbb{C}z$ そのものである束と同一視できます。$U_j$ 上の自明化を $([z],v)\mapsto([z],v_j)$（$v$ の第 $j$ 成分）とすると、$v=v_j\,z/z_j=v_k\,z/z_k$ から $v_j=(z_j/z_k)v_k$ で、変換関数は $z_j/z_k=(z_k/z_j)^{-1}$ です。$\mathcal{O}(1)$ のファイバーは直線 $\mathbb{C}z$ 上の線型形式の空間です。$\mathcal{O}(k)$ の切断は、$U_j$ 上の関数 $s_j$ で $s_j=(z_k/z_j)^ks_k$ を満たす族です。

O(−1) のファイバー。底空間 ℙⁿ の各点 [z] の上に、原点を通る直線 ℂz（その点が表す直線）がそのまま乗っている。

定理 5.2（𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量）✓

$n\ge1$、$k\in\mathbb{Z}$ とする。

1. $z_0,\dots,z_n$ の $k$ 次斉次多項式 $P$ に対し、$(s_P)_j=P(z)/z_j^k$ は $\mathcal{O}(k)$ の正則切断 $s_P$ を定める。$P\mapsto s_P$ は、$k$ 次斉次多項式の空間 $S_k$ から $H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))$ への線型同型である。とくに $k<0$ なら $H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=0$、$k\ge0$ なら $\dim H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))=\binom{n+k}{n}$ である。
2. $U_j$ 上の正則枠のノルムの 2 乗を $h_j=|z_j|^2/|z|^2$（$|z|^2=\sum_i|z_i|^2$）とすると、これは $\mathcal{O}(1)$ の Hermite 計量 $h_{FS}$ を定め、その第一 Chern 形式は

$$\omega_{FS}:=c_1(\mathcal{O}(1),h_{FS})=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log|z|^2$$

である（右辺は、$U_j$ 上で $\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log(|z|^2/|z_j|^2)$ を表す）。$\mathcal{O}(k)$ に計量 $h_{FS}^k$ を入れると第一 Chern 形式は $k\,\omega_{FS}$ である。 3. 直線 $\ell=\{z_2=\dots=z_n=0\}\cong\mathbb{P}^1$ について $\int_\ell\omega_{FS}=1$ である。

証明（定理 5.2）

(1) $P(z)/z_j^k$ は $z$ を $\lambda z$ に替えても変わらないので $U_j$ 上の関数で、$\varphi_j$ の座標で多項式（$k<0$ のときは $P=0$）なので正則です。$P/z_j^k=(z_k/z_j)^k\,P/z_k^k$ なので切断です。$P\mapsto s_P$ は線型で、$s_P=0$ なら $P$ は $\{z_j\ne0\}$ 上で $0$、したがって $P=0$ なので単射です。

全射性を示します。$s=\{s_j\}\in H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(k))$ とし、$\pi:\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}\to\mathbb{P}^n$ を射影とします。$\{z_j\ne0\}$ の上で $F(z)=z_j^k\,s_j(\pi(z))$ とおくと、$\{z_j\ne0\}\cap\{z_l\ne0\}$ 上で $z_j^ks_j=z_j^k(z_l/z_j)^ks_l=z_l^ks_l$ なので、$F$ は $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の正則関数で、$F(\lambda z)=\lambda^kF(z)$（$\lambda\ne0$）を満たします。$n+1\ge2$ なので、Hartogs の延長定理（定理 7.1［複素多様体と正則写像］ の 3）により $F$ は $\mathbb{C}^{n+1}$ 上の正則関数に延びます。原点を中心とするべき級数展開 $F(z)=\sum_\alpha c_\alpha z^\alpha$ は $\mathbb{C}^{n+1}$ 全体で絶対収束する（定理 2.3［多変数複素関数論］ を任意の多重円板に使う）ので、$F_m(z)=\sum_{|\alpha|=m}c_\alpha z^\alpha$ とおくと、$z$ を固定したとき

$$F(\lambda z)=\sum_{m\ge0}\lambda^mF_m(z)$$

は $\lambda$ の整関数の Taylor 展開です。$k\ge0$ のとき、これが $\lambda\ne0$ で $\lambda^kF(z)$ に等しいので、Taylor 係数の一意性（定理 5.2［正則関数の強力な性質］）から $m\ne k$ で $F_m(z)=0$、$F=F_k$ は $k$ 次斉次多項式です。$k<0$ のとき、$\lambda^{-k}F(\lambda z)=\sum_m\lambda^{m-k}F_m(z)$ が定数 $F(z)$ に等しく、左辺の展開には定数項がない（$m-k\ge1$）ので $F(z)=0$ です。いずれの場合も $P=F\in S_k$ で $s=s_P$ です。$S_k$ の次元は $n+1$ 変数の $k$ 次単項式の個数 $\binom{n+k}{n}$ です。

(2) 切断の成分が $s_j=g_{jk}s_k$ と変わるとき、対応する正則枠は $e_k=g_{jk}e_j$ と変わるので、ノルムの 2 乗は $h_k=|g_{jk}|^2h_j$ を満たさなければなりません。$\mathcal{O}(1)$ では $g_{jk}=z_k/z_j$ で、$|z_k/z_j|^2\cdot|z_j|^2/|z|^2=|z_k|^2/|z|^2$ なので、$h_j$ は矛盾なく Hermite 計量を定めます。命題 4.3 の 2 により、$U_j$ 上で

$$c_1(\mathcal{O}(1),h_{FS})=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log\frac{|z_j|^2}{|z|^2}=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log\frac{|z|^2}{|z_j|^2}$$

です。$\mathcal{O}(k)$ については 定理 4.5 の 2 によります。

(3) $\ell\cap U_0$ の座標を $w=z_1/z_0$ とすると、$\ell$ 上で $|z|^2/|z_0|^2=1+|w|^2$ で、

$$\partial\bar\partial\log(1+|w|^2)=\partial\Bigl(\frac{w\,d\bar w}{1+|w|^2}\Bigr)=\frac{(1+|w|^2)-w\bar w}{(1+|w|^2)^2}\,dw\wedge d\bar w=\frac{dw\wedge d\bar w}{(1+|w|^2)^2}$$

です。$i\,dw\wedge d\bar w=2\,dx\wedge dy$ なので、$\ell\setminus U_0$ が 1 点であることに注意して、極座標で

$$\int_\ell\omega_{FS}=\frac1\pi\int_{\mathbb{C}}\frac{dx\,dy}{(1+|w|^2)^2}=\frac1\pi\cdot2\pi\int_0^\infty\frac{r\,dr}{(1+r^2)^2}=2\cdot\frac12=1$$

です。

∎

(1) により、$\mathcal{O}(1)$ の正則切断は線型形式で、その零点集合は超平面です。これが「超平面束」の名前の由来です。$\omega_{FS}$ を Fubini–Study 形式といいます。次章で、これが $\mathbb{P}^n$ の Kähler 計量を定めることを見ます。

定理 5.3（Euler 完全列と射影空間の標準束）✓

1. $\mathbb{P}^n$ 上に、正則ベクトル束の正則な準同型の列

$$0\to\mathcal{O}\xrightarrow{\ a\ }\mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)}\xrightarrow{\ b\ }T\mathbb{P}^n\to0$$

で、各ファイバーで完全なものがある。$a$ は $1\mapsto(z_0,\dots,z_n)$（$z_i$ を $\mathcal{O}(1)$ の切断と見る）、$b$ は点 $[z]$ で $(\sigma_0,\dots,\sigma_n)\mapsto d\pi_z\bigl(\sum_i\sigma_i(z)\,\partial/\partial z_i\bigr)$ で与えられる。 2. $U_j$ の座標を $w^{(j)}=\varphi_j$ とすると、$U_j\cap U_k$ 上で

$$\det\Bigl(\frac{\partial w^{(k)}}{\partial w^{(j)}}\Bigr)=(-1)^{k-j}\Bigl(\frac{z_j}{z_k}\Bigr)^{n+1}$$

であり、$K_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ である。

証明（定理 5.3）

(1) $\mathcal{O}(1)$ の点 $[z]$ でのファイバーの元 $\sigma$ は直線 $\mathbb{C}z$ 上の線型形式で、$U_j$ 上の自明化での成分は $t=\sigma(z)/z_j$（代表元 $z$ によらない）です。$b$ が代表元によらないことを見ます。$m_\lambda(z)=\lambda z$ とすると $\pi\circ m_\lambda=\pi$ なので $d\pi_{\lambda z}(\lambda v)=d\pi_z(v)$ で、$\sigma_i(\lambda z)=\lambda\sigma_i(z)$ から $d\pi_{\lambda z}(\sum\sigma_i(\lambda z)\partial_i)=d\pi_z(\sum\sigma_i(z)\partial_i)$ です。

$U_j$ 上で、代表元を $z_j=1$ と正規化し、成分 $t_i=\sigma_i(z)$ を使います。座標 $w_i=z_i/z_j$（$i\ne j$）について $dw_i=dz_i/z_j-z_i\,dz_j/z_j^2$ なので、$z_j=1$ の点で

$$b(t_0,\dots,t_n)=\sum_{i\ne j}(t_i-w_it_j)\frac{\partial}{\partial w_i}$$

です。これは $t$ について線型で、係数が $w$ の正則関数なので、$b$ は正則な束準同型です。$t_j=0$ とすれば任意の $\sum c_i\,\partial/\partial w_i$ が像に入るので全射です。核は $t_i=w_it_j$（$i\ne j$）を満たす $t$ の全体、つまり $t=t_j\cdot(w_0,\dots,1,\dots,w_n)=t_j\cdot(z_0/z_j,\dots,z_n/z_j)$ の全体です。一方 $a(c)$ の成分は $c\cdot(z_i/z_j)_i$ で、$a$ は正則、単射（第 $j$ 成分が $c$）で、像は $b$ の核に一致します。

(2) $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の $n$ 形式

$$\Omega=\sum_{i=0}^n(-1)^iz_i\,dz_0\wedge\dots\wedge\widehat{dz_i}\wedge\dots\wedge dz_n$$

を考え、$dz_{\hat i}=dz_0\wedge\dots\wedge\widehat{dz_i}\wedge\dots\wedge dz_n$ と書きます。$\{z_j\ne0\}$ 上で、$\pi^{*}dw^{(j)}_i=dz_i/z_j-(z_i/z_j^2)\,dz_j$（$i\ne j$）のウェッジ積を $i$ の小さい順に取って展開します。$dz_j$ を 2 つ以上含む項は $0$ なので

$$\bigwedge_{i\ne j}\pi^{*}dw^{(j)}_i=z_j^{-n}\Bigl(dz_{\hat j}-\sum_{i\ne j}\frac{z_i}{z_j}\,\bigl[dz_{\hat j}\text{ の }dz_i\text{ を }dz_j\text{ に替えたもの}\bigr]\Bigr)$$

です。$dz_{\hat j}$ の $dz_i$ を $dz_j$ に替えたものは、$dz_j$ を本来の位置まで移すのに $|i-j|-1$ 個の因子を越えるので $(-1)^{i-j-1}dz_{\hat i}$ に等しいです。よって

$$\bigwedge_{i\ne j}\pi^{*}dw^{(j)}_i=z_j^{-n-1}\Bigl(z_j\,dz_{\hat j}+\sum_{i\ne j}(-1)^{i-j}z_i\,dz_{\hat i}\Bigr)=\frac{(-1)^j}{z_j^{n+1}}\,\Omega$$

です。同じ式を $k$ について書いて比べると、$\{z_jz_k\ne0\}$ 上で

$$\pi^{*}\bigl(dw^{(k)}_{\mathrm{top}}\bigr)=(-1)^{k-j}\Bigl(\frac{z_j}{z_k}\Bigr)^{n+1}\pi^{*}\bigl(dw^{(j)}_{\mathrm{top}}\bigr)$$

（$dw^{(j)}_{\mathrm{top}}$ は $dw^{(j)}_i$ の $i$ の小さい順のウェッジ積）です。$\pi$ は各点で微分が全射なので $\pi^{*}$ は形式について単射で、$U_j\cap U_k$ 上で $dw^{(k)}_{\mathrm{top}}=(-1)^{k-j}(z_j/z_k)^{n+1}dw^{(j)}_{\mathrm{top}}$、つまり Jacobi 行列式の式が得られます。

標準束の変換関数は $g^K_{jk}=\det(\partial w^{(j)}/\partial w^{(k)})^{-1}=\det(\partial w^{(k)}/\partial w^{(j)})=(-1)^{k-j}(z_j/z_k)^{n+1}$（定義 2.4 の 2）で、$\mathcal{O}(-n-1)$ の変換関数は $(z_k/z_j)^{-n-1}=(z_j/z_k)^{n+1}$ です。$f_j=(-1)^j$ とおくと $g^K_{jk}=f_j\,(z_j/z_k)^{n+1}f_k^{-1}$ なので、補題 2.2 の 2 により $K_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ です。

∎

(1) の完全列から行列式束を取っても $K_{\mathbb{P}^n}^{*}=\det T\mathbb{P}^n\cong\det(\mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)})=\mathcal{O}(n+1)$ が得られ、(2) と整合します。定理 5.2 と合わせると、$n\ge1$ では $H^0(\mathbb{P}^n,K_{\mathbb{P}^n})=0$、つまり $\mathbb{P}^n$ には $0$ でない正則 $n$ 形式がありません。

6. 因子と直線束

$X$ を複素多様体とします。開集合 $U$ 上の有理型関数（定義 9.6［複素多様体と正則写像］）$f$ で、局所的な表示 $g/h$ の分子 $g$ もどの点の近傍でも恒等的に $0$ でないものの全体を $\mathcal{M}^{*}(U)$ と書きます。これは積について群で、$U$ 上の零点をもたない正則関数の群 $\mathcal{O}^{*}(U)$ を部分群として含みます。

因子は、零点と極を重複度つきで記録したものです。たとえば複素平面上の有理型関数 $f(z)=(z-1)^2/z^3$ なら、$z=1$ が 2 位の零点、$z=0$ が 3 位の極なので、記録は「$2\cdot[1]-3\cdot[0]$」になります。次の定義は、これを関数が一つに貼り合わさらない場合にも使えるように、局所的な関数の族として述べたものです。

定義 6.1（因子・主因子・有理型切断）↗

1. $X$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と $f_\alpha\in\mathcal{M}^{*}(U_\alpha)$ の族で、$U_\alpha\cap U_\beta$ 上 $f_\alpha/f_\beta\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap U_\beta)$ となるものの組 $\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ を考える。二つの組 $\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$、$\{(V_\beta,f'_\beta)\}$ は、すべての $\alpha,\beta$ で $f_\alpha/f'_\beta\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap V_\beta)$ のとき同値であるという。同値類を $X$ の因子といい、$f_\alpha$ を局所方程式という。因子の全体 $\operatorname{Div}(X)$ は、$\{(U_\alpha,f_\alpha)\}+\{(V_\beta,f'_\beta)\}=\{(U_\alpha\cap V_\beta,f_\alpha f'_\beta)\}$ を和、$\{(X,1)\}$ を零元として可換群になる。
2. 局所方程式がすべて正則関数に取れる因子を有効因子という。$f\in\mathcal{M}^{*}(X)$ が定める因子 $\operatorname{div}(f)=\{(X,f)\}$ を主因子という。
3. 正則直線束 $L$（変換関数 $g_{\alpha\beta}$）の有理型切断とは、$U_\alpha$ 上の有理型関数 $s_\alpha$ の族で $s_\alpha=g_{\alpha\beta}s_\beta$ を満たすものをいう。すべての $s_\alpha$ が $\mathcal{M}^{*}(U_\alpha)$ に属するとき、$\operatorname{div}(s)=\{(U_\alpha,s_\alpha)\}$ は因子である。
4. 因子 $D=\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ に対し、正則コサイクル $g_{\alpha\beta}=f_\alpha/f_\beta$ が定める正則直線束を $\mathcal{O}(D)$ と書く。$\{f_\alpha\}$ は $\mathcal{O}(D)$ の有理型切断 $s_D$ で、$\operatorname{div}(s_D)=D$ である。

因子の局所方程式 $f_\alpha$ は、$\mathcal{O}_{X,x}$ が UFD である（定理 9.2［複素多様体と正則写像］）ことから（UFD は一意分解整域、つまり素因数分解が一通りにできる環のことです）、各点の近くで互いに単元倍でない既約元 $p_i$ の整数べきの積 $u\prod_ip_i^{a_i}$ と書けます。$p_i$ の零点集合が $D$ に現れる超曲面の局所的な成分、$a_i$ がその重複度（負なら極の位数）です。因子を「既約な解析的超曲面の、局所有限な整数係数の形式和 $\sum a_iY_i$」と定義する流儀（Weil 因子）もあり、複素多様体の上では上の定義（Cartier 因子）と同等です。この章の定理は上の定義だけで述べられるので、同等性の証明は省きます。

定理 6.2（因子と直線束の対応）✓

$X$ を複素多様体とする。

1. $\mathcal{O}(D)$ の同型類は因子 $D$ の代表の取り方によらず、$D\mapsto[\mathcal{O}(D)]$ は群準同型 $\operatorname{Div}(X)\to\operatorname{Pic}(X)$ である。
2. $\mathcal{O}(D)$ が自明であることと、$D$ が主因子であることは同値である。したがって $\mathcal{O}(D)\cong\mathcal{O}(D')$ は、$D-D'$ が主因子であることと同値である（このとき $D$ と $D'$ は線型同値であるという）。
3. 正則直線束 $L$ が、どの $s_\alpha$ も $\mathcal{M}^{*}(U_\alpha)$ に属する有理型切断 $s$ をもてば、$L\cong\mathcal{O}(\operatorname{div}(s))$ である。$s$ が正則切断なら $\operatorname{div}(s)$ は有効因子である。逆に $\mathcal{O}(D)$ は有理型切断 $s_D$ をもち、$D$ が有効なら $s_D$ は正則切断である。
4. $A\subseteq X$ を解析的超曲面とする。被約な局所定義関数の族 $\{(V,f_V)\}$ に $(X\setminus A,1)$ を加えたものは有効因子 $[A]$ を定める。$\mathcal{O}(A):=\mathcal{O}([A])$ は、零点集合がちょうど $A$ である正則切断 $s_A$ をもつ。

証明（定理 6.2）

(1) $g_{\alpha\beta}=f_\alpha/f_\beta$ は仮定により $\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap U_\beta)$ の元で、$g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}$ を満たすので正則コサイクルです。同値な組 $\{(V_\beta,f'_\beta)\}$ を取り、$u_{\alpha\beta}=f_\alpha/f'_\beta\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap V_\beta)$ とします。共通の細分 $W_{\alpha\beta}=U_\alpha\cap V_\beta$ の上で、二つの組から決まるコサイクルは $f_\alpha/f_{\alpha'}$ と $f'_\beta/f'_{\beta'}$ で、

$$\frac{f_\alpha}{f_{\alpha'}}=u_{\alpha\beta}\cdot\frac{f'_\beta}{f'_{\beta'}}\cdot u_{\alpha'\beta'}^{-1}$$

なので、補題 2.2 の 2 により同型な直線束を定めます（被覆を細分しても束は変わりません）。和 $D+D'$ の局所方程式は $f_\alpha f'_\beta$ なので、コサイクルは積になり、$\mathcal{O}(D+D')\cong\mathcal{O}(D)\otimes\mathcal{O}(D')$ です。

(2) $D=\operatorname{div}(f)$ なら、組 $\{(X,f)\}$ から決まるコサイクルは $1$ で、$\mathcal{O}(D)$ は自明です。逆に $\mathcal{O}(D)$ が自明なら、零点をもたない正則切断があります（補題 2.2 の 3）。その成分 $s_\alpha\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha)$ は $s_\alpha=(f_\alpha/f_\beta)s_\beta$ を満たすので、$f_\alpha/s_\alpha=f_\beta/s_\beta$ が $U_\alpha\cap U_\beta$ 上で成り立ち、$X$ 上の有理型関数 $f\in\mathcal{M}^{*}(X)$ が定まります。$f/f_\alpha=1/s_\alpha\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha)$ なので $\operatorname{div}(f)=D$ です。後半は (1) の準同型性から従います。

(3) $s_\alpha/s_\beta=g_{\alpha\beta}\in\mathcal{O}^{*}(U_\alpha\cap U_\beta)$ なので $\operatorname{div}(s)$ は因子で、$\mathcal{O}(\operatorname{div}(s))$ のコサイクルは $L$ のコサイクル $g_{\alpha\beta}$ そのものです。残りは定義から直ちに従います。

(4) 被約な局所定義関数の比 $f_V/f_{V'}$ は $V\cap V'$ 上の零点をもたない正則関数に延びます（系 9.4［複素多様体と正則写像］ の 4）。$V\setminus A$ 上では $f_V$ 自身が零点をもたないので、$(X\setminus A,1)$ とも両立します。よって有効因子で、$s_A=s_{[A]}$ の成分は $f_V$ と $1$ なので、零点集合は $A$ です。

∎

(4) で被約な定義関数を使うのは、$f_V$ の代わりに $f_V^2$ を取ると別の因子 $2[A]$ になるからです。零点集合 $A$ だけから因子を決めるには、定義関数を単元倍を除いて一意に選ぶ必要があり、それを保証するのが $\mathcal{O}_{X,x}$ の一意分解性でした。

定理 6.3（随伴公式）✓

$X$ を $n$ 次元複素多様体、$Y\subseteq X$ を余次元 1 の閉な複素部分多様体（非特異な超曲面）とする。

1. $Y$ は解析的超曲面で、$Y$ に適合したチャートの座標関数 $z_n$（$Y=\{z_n=0\}$）は被約な局所定義関数である。$Y$ の近傍で定義された正則関数 $f$ が $Y$ 上で $0$、かつ $Y$ の各点で $df\ne0$ ならば、$f/z_n$ は $Y$ の近傍で零点をもたない正則関数に延びる。
2. 法束について $N_{Y/X}\cong\mathcal{O}(Y)|_Y$ である。
3. 標準束について $K_Y\cong(K_X\otimes\mathcal{O}(Y))|_Y$ である。

証明（定理 6.3）

(1) $Y$ に適合したチャート $(U,(z',z_n))$ で、$U$ が多重円板に写るものを取ります。$f$ が $U$ 上で正則で $\{z_n=0\}$ 上 $0$ なら、

$$f(z',z_n)=\int_0^1\frac{d}{dt}f(z',tz_n)\,dt=z_n\,u(z),\qquad u(z)=\int_0^1\partial_nf(z',tz_n)\,dt$$

で、$u$ は正則です（補題 2.4［複素多様体と正則写像］）。$f$ は $Y$ 上で $0$ なので $j<n$ について $\partial_jf(z',0)=0$ で、$df\ne0$ から $u(z',0)=\partial_nf(z',0)\ne0$ です。$Y$ の外では $f=z_nu$ と $z_n\ne0$ から、$f$ の零点でない点で $u\ne0$ です。$Y$ の近傍に制限すれば $u$ は零点をもちません。$z_n$ の芽が $Y$ の点 $a$ で重複因子をもたないことは、$z_n=\varphi^2\psi$（$\varphi(a)=0$）なら $dz_n(a)=0$ となって矛盾することからわかります。

以下、$Y$ に適合したチャート $U_\alpha$ と $f_\alpha=z^\alpha_n$、および $U_0=X\setminus Y$ と $f_0=1$ で $[Y]$ を表し、$g_{\alpha\beta}=f_\alpha/f_\beta$ とします。

(2) $y\in Y\cap U_\alpha$ とします。$(df_\alpha)_y$ は $T_yX$ 上の $0$ でない複素線型形式で、$T_yY$ の上で $0$ なので、同型 $N_{Y/X,y}=T_yX/T_yY\to\mathbb{C}$ を引き起こします。$U_\alpha\cap U_\beta$ 上で $f_\alpha=g_{\alpha\beta}f_\beta$ を微分すると $df_\alpha=g_{\alpha\beta}\,df_\beta+f_\beta\,dg_{\alpha\beta}$ で、$Y$ 上では $f_\beta=0$ なので

$$(df_\alpha)_y=g_{\alpha\beta}(y)\,(df_\beta)_y$$

です。したがって、$[v]\in N_{Y/X,y}$ に、成分が $t_\alpha=(df_\alpha)_y(v)$ である $\mathcal{O}(Y)_y$ の元を対応させる写像は矛盾なく定まり（$t_\alpha=g_{\alpha\beta}t_\beta$）、各ファイバーで同型です。適合したチャートでは $[\partial/\partial z_n]\mapsto1$ なので正則です。

(3) まず線型代数の補題を示します。$V$ を $n$ 次元複素ベクトル空間、$\lambda\in V^{*}$ を $0$ でない線型形式、$W=\ker\lambda$ とします。$\eta\in\Lambda^nV^{*}$ に対し、$\lambda\wedge\tilde\zeta=\eta$ となる $\tilde\zeta\in\Lambda^{n-1}V^{*}$ が存在し、その $W$ への制限 $\rho_\lambda(\eta)=\tilde\zeta|_W\in\Lambda^{n-1}W^{*}$ は $\tilde\zeta$ の取り方によらず、$\rho_\lambda:\Lambda^nV^{*}\to\Lambda^{n-1}W^{*}$ は線型同型で、$c\ne0$ について $\rho_{c\lambda}=c^{-1}\rho_\lambda$ です。実際、$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ を $e_1,\dots,e_{n-1}\in W$ となるように取り、双対基底を $\varepsilon^i$ とすると $\lambda=c_0\varepsilon^n$（$c_0\ne0$）です。$\eta=a\,\varepsilon^1\wedge\dots\wedge\varepsilon^n$、$\tilde\zeta=\sum_{|I|=n-1}b_I\varepsilon^I$ とすると、$\lambda\wedge\tilde\zeta=c_0b_{(1,\dots,n-1)}\varepsilon^n\wedge\varepsilon^1\wedge\dots\wedge\varepsilon^{n-1}=(-1)^{n-1}c_0b_{(1,\dots,n-1)}\varepsilon^1\wedge\dots\wedge\varepsilon^n$ なので、条件は $b_{(1,\dots,n-1)}=(-1)^{n-1}a/c_0$ だけです。$\varepsilon^n$ を含む $\varepsilon^I$ は $W$ 上で $0$ なので、$\tilde\zeta|_W=(-1)^{n-1}(a/c_0)\,\varepsilon^1\wedge\dots\wedge\varepsilon^{n-1}|_W$ は一意に決まり、$a$ について同型で、$\lambda$ を $c\lambda$ に替えると $c^{-1}$ 倍になります。

$(K_X\otimes\mathcal{O}(Y))_y$ の元は、成分 $\eta_\alpha\in\Lambda^nT_y^{*}X$ の族で $\eta_\alpha=g_{\alpha\beta}(y)\eta_\beta$ を満たすものです。これに $\rho_{(df_\alpha)_y}(\eta_\alpha)\in\Lambda^{n-1}T_y^{*}Y=K_{Y,y}$ を対応させます。(2) の式と補題から

$$\rho_{df_\alpha}(\eta_\alpha)=\rho_{g_{\alpha\beta}df_\beta}(g_{\alpha\beta}\eta_\beta)=g_{\alpha\beta}^{-1}g_{\alpha\beta}\,\rho_{df_\beta}(\eta_\beta)=\rho_{df_\beta}(\eta_\beta)$$

なので $\alpha$ によらず、各ファイバーで同型な束準同型 $(K_X\otimes\mathcal{O}(Y))|_Y\to K_Y$ が定まります。適合したチャートでは $a\,dz_1\wedge\dots\wedge dz_n\mapsto(-1)^{n-1}a|_Y\,dz_1\wedge\dots\wedge dz_{n-1}$ なので正則です。

∎

(3) の同型は Poincaré 留数と呼ばれます。$Y$ に沿って 1 位の極をもつ有理型 $n$ 形式 $\eta/f$ に、$Y$ 上の正則 $(n-1)$ 形式を対応させる写像で、1 変数の留数の高次元版です。

例 6.4（射影超曲面の標準束）

$P$ を $d$ 次斉次多項式で、偏導関数が $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ に共通零点をもたないものとし、$Y=V(P)\subseteq\mathbb{P}^n$ とします（命題 5.3［複素多様体と正則写像］ の 3）。$U_j$ 上で $P/z_j^d$ は $Y$ 上で $0$、$Y$ の各点で微分が $0$ でない関数なので、$[Y]$ の局所方程式に取れ（定理 6.3 の 1）、$\mathcal{O}(Y)$ の変換関数は $(P/z_j^d)/(P/z_k^d)=(z_k/z_j)^d$ です。よって $\mathcal{O}(Y)\cong\mathcal{O}(d)$ で、随伴公式と 定理 5.3 から

$$K_Y\cong\bigl(\mathcal{O}(-n-1)\otimes\mathcal{O}(d)\bigr)|_Y=\mathcal{O}(d-n-1)|_Y$$

です。$d=n+1$ のとき標準束は自明です。$\mathbb{P}^2$ の 3 次曲線（楕円曲線）、$\mathbb{P}^3$ の 4 次曲面（K3 曲面）、$\mathbb{P}^4$ の 5 次 3 次元多様体がその例で、零点をもたない正則 $(n-1)$ 形式をもちます。$d<n+1$ なら $K_Y$ は負のべき、$d>n+1$ なら正のべきの制限で、超曲面の幾何は $d$ と $n+1$ の大小で性格が変わります。

7. Poincaré–Lelong の公式

定理 7.1（Poincaré–Lelong の公式と Riemann 面上の次数）✓

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体とする。

1. $D\subseteq X$ を非特異な超曲面、$h$ を $\mathcal{O}(D)$ の Hermite 計量、$\alpha\in A^{2n-2}(X)$ を $d$ 閉形式とする。このとき

$$\int_D\alpha=\int_Xc_1(\mathcal{O}(D),h)\wedge\alpha$$

が成り立つ（$D$ には複素多様体としての標準的な向きを入れる。$n=1$ のとき左辺は $D$ の点での $\alpha$ の値の和である）。 2. $n=1$（$X$ はコンパクト Riemann 面）とする。因子 $D=\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ の点 $p$ での位数を $\operatorname{ord}_p(D)=\operatorname{ord}_p(f_\alpha)$ とし、$\deg D=\sum_p\operatorname{ord}_p(D)$（有限和）とおく。このとき $\int_Xc_1(\mathcal{O}(D))=\deg D$ である。したがって、正則直線束 $L$ の $0$ でない有理型切断 $s$ について $\int_Xc_1(L)=\deg\operatorname{div}(s)$ で、とくに $0$ でない正則切断の零点の個数（重複度込み）は $\int_Xc_1(L)$ に等しく、$0$ でない有理型関数の零点の個数と極の個数（重複度込み）は等しい。

次の (1) の証明の方針です。正則切断 $s$ の長さの 2 乗 $t=h(s,s)$ の $\log$ を取ると、零点 $D$ の外では曲率形式が $d\theta$ の形に書けます。そこで $D$ のごく近くを切り落とす関数 $\chi_\varepsilon$ を掛けて Stokes の定理を使い、切り落とす幅 $\varepsilon$ を $0$ に近づけます。曲率の積分は、切り落とした境目の積分、つまり $D$ の上の積分に変わります。(2) は、点を超曲面と見て (1) を使うだけです。

証明（定理 7.1）

(1) 設定。 $L=\mathcal{O}(D)$ とし、定理 6.3 の証明の $f_\alpha$ を成分とする正則切断 $s=s_D$ を考えます。$t=h(s,s)$ は $X$ 上の非負の滑らかな関数で、正則枠のノルムの 2 乗を $h_\alpha$ とすると $U_\alpha$ 上 $t=h_\alpha|f_\alpha|^2$、零点集合は $D$ です。$X\setminus D$ 上で $\log t=\log h_\alpha+\log|f_\alpha|^2$ です。$f_\alpha\ne0$ の点の近くで $\bar\partial\log|f_\alpha|^2=\overline{\partial f_\alpha/f_\alpha}$ で、$\partial f_\alpha/f_\alpha$ は係数が正則な $(1,0)$ 形式なので $\partial\bar\partial\log|f_\alpha|^2=\overline{\bar\partial(\partial f_\alpha/f_\alpha)}=0$ です。よって $X\setminus D$ 上で

$$c_1(L,h)=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log h_\alpha=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log t=d\theta,\qquad\theta=\frac{i}{2\pi}\partial\log t$$

です（$d\,\partial\log t=\bar\partial\partial\log t=-\partial\bar\partial\log t$）。

切り落とし。 $\lambda:\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$u\le1$ で $\lambda(u)=0$、$u\ge2$ で $\lambda(u)=1$ となる滑らかな関数（系 6.4［部分多様体と正則値定理］）とし、$\varepsilon>0$ に対して $\chi_\varepsilon=\lambda(t/\varepsilon^2)$ とおきます。$\chi_\varepsilon$ は $X$ 上で滑らかで、$D$ の近傍 $\{t<\varepsilon^2\}$ で $0$、$\varepsilon\to0$ のとき $X\setminus D$ の各点で $1$ に収束します。$\chi_\varepsilon\,\theta\wedge\alpha$ は $X$ 上の滑らかな $(2n-1)$ 形式なので、$d\alpha=0$ と Stokes の定理（定理 6.1［ストークスの定理］）から

$$0=\int_Xd(\chi_\varepsilon\,\theta\wedge\alpha)=\int_Xd\chi_\varepsilon\wedge\theta\wedge\alpha+\int_X\chi_\varepsilon\,c_1(L,h)\wedge\alpha$$

です。$D$ は測度 $0$（適合したチャートで $\{z_n=0\}$）で、$|\chi_\varepsilon|\le1$ なので、優収束定理により第 2 項は $\int_Xc_1(L,h)\wedge\alpha$ に収束します。したがって

$$\int_Xc_1(L,h)\wedge\alpha=\lim_{\varepsilon\to0}\int_X(-d\chi_\varepsilon\wedge\theta)\wedge\alpha$$

で、右辺の極限が $\int_D\alpha$ であることを示せばよいです。$d\chi_\varepsilon=\lambda'(t/\varepsilon^2)\,dt/\varepsilon^2$、$\theta=\frac{i}{2\pi}\partial t/t$ と、$dt\wedge\partial t=\bar\partial t\wedge\partial t=-\partial t\wedge\bar\partial t$ から

$$-d\chi_\varepsilon\wedge\theta=\frac{i}{2\pi}\,\frac{\lambda'(t/\varepsilon^2)}{\varepsilon^2\,t}\,\partial t\wedge\bar\partial t$$

です。

局所化。 $D$ の各点のまわりに、$D$ に適合したチャート（$f_\alpha=z_n$）を取り、これらと $X\setminus D$ からなる開被覆に従属する 1 の分割 $\{\rho_j\}$ を取ります。$X$ はコンパクトなので有限個の $\rho_j$ だけ考えれば十分です。$\operatorname{supp}\rho_j\subseteq X\setminus D$ のものについては、コンパクト集合 $\operatorname{supp}\rho_j$ 上で $t\ge c>0$ なので、$2\varepsilon^2<c$ のとき $\operatorname{supp}\rho_j$ 上で $d\chi_\varepsilon=0$ で、寄与は $0$ です。

$\operatorname{supp}\rho_j$ が適合したチャートに含まれる場合を考え、$\beta=\rho_j\alpha$ とします。座標 $(z',z_n)$ で $t=h|z_n|^2$（$h=h_\alpha>0$）で、

$$\partial t=h\bar z_n\,dz_n+|z_n|^2\partial h,\qquad\bar\partial t=hz_n\,d\bar z_n+|z_n|^2\bar\partial h$$

から

$$\frac{\partial t\wedge\bar\partial t}{t}=h\,\bigl(dz_n\wedge d\bar z_n+E\bigr),\qquad E=\bar z_n\,dz_n\wedge\bar\partial\log h+z_n\,\partial\log h\wedge d\bar z_n+|z_n|^2\partial\log h\wedge\bar\partial\log h$$

です。$\lambda'(t/\varepsilon^2)\ne0$ となるのは $\varepsilon^2\le h|z_n|^2\le2\varepsilon^2$ のときだけで、$\operatorname{supp}\beta$ 上で $h$ は正の下界をもつので、そこでは $|z_n|\le C\varepsilon$ です。$E$ の係数は $\operatorname{supp}\beta$ 上で $C'|z_n|\le C''\varepsilon$ で押さえられ、$\{z\in\operatorname{supp}\beta:|z_n|\le C\varepsilon\}$ の体積は $\varepsilon^2$ の定数倍以下なので、$E$ の寄与は

$$\Bigl|\int\frac{i}{2\pi}\frac{\lambda'(t/\varepsilon^2)h}{\varepsilon^2}\,E\wedge\beta\Bigr|\le\frac{C'''}{\varepsilon^2}\cdot\varepsilon\cdot\varepsilon^2\to0$$

です。

主要項。 $\beta$ のうち $dz_n$ も $d\bar z_n$ も含まない部分を $b\,\mu'$（$\mu'=(i/2)^{n-1}\prod_{j<n}dz_j\wedge d\bar z_j$ は $z'$ の空間の体積形式、$b$ はコンパクトな台をもつ滑らかな関数）とします。$dz_n\wedge d\bar z_n\wedge\beta=dz_n\wedge d\bar z_n\wedge b\mu'$ で、$\frac i2dz_n\wedge d\bar z_n$ は $z_n$ 平面の面積要素 $dA$ なので、主要項は

$$M_\varepsilon=\frac1\pi\int_{\mathbb{C}^{n-1}}\Bigl(\int_{\mathbb{C}}\lambda'\Bigl(\frac{h(z',z_n)|z_n|^2}{\varepsilon^2}\Bigr)\frac{h(z',z_n)}{\varepsilon^2}\,b(z',z_n)\,dA(z_n)\Bigr)dV(z')$$

です（向きは標準的な向きで、2 形式どうしは可換なので符号は出ません）。$z_n=\varepsilon\zeta$ と置換すると内側の積分は

$$\int_{\mathbb{C}}\lambda'\bigl(h(z',\varepsilon\zeta)|\zeta|^2\bigr)\,h(z',\varepsilon\zeta)\,b(z',\varepsilon\zeta)\,dA(\zeta)$$

で、被積分関数は有界で、$|\zeta|$ が一定値以上なら $0$ です。$\varepsilon\to0$ のとき、優収束定理により、$h_0=h(z',0)$ として

$$b(z',0)\int_{\mathbb{C}}\lambda'(h_0|\zeta|^2)\,h_0\,dA(\zeta)=b(z',0)\cdot\pi\int_0^\infty\lambda'(h_0u)\,h_0\,du=\pi\,b(z',0)$$

に収束します（極座標で $u=|\zeta|^2$、$dA=\frac12du\,d\varphi$、$\int_0^\infty\lambda'=1$）。$z'$ についても有界収束なので $M_\varepsilon\to\int_{\mathbb{C}^{n-1}}b(z',0)\,dV(z')$ で、これは $\beta=\rho_j\alpha$ を $D=\{z_n=0\}$ に引き戻した形式 $b(z',0)\mu'$ の積分 $\int_D\rho_j\alpha$ です。

$j$ について足し合わせて、$\lim_{\varepsilon\to0}\int_X(-d\chi_\varepsilon\wedge\theta)\wedge\alpha=\sum_j\int_D\rho_j\alpha=\int_D\alpha$ です。

(2) $f_\alpha$ の零点と極は孤立しているので、コンパクトな $X$ の上で有限個の点 $p_1,\dots,p_m$ だけです。$a_i=\operatorname{ord}_{p_i}(D)$ とします。$p_i$ を中心とする座標 $z$ について、$p_i$ の近くで $f_\alpha=z^{a_i}u$（$u$ は零点をもたない正則関数）です（定義 2.1［偏角の原理と Rouché の定理］）。1 点 $p_i$ は非特異な超曲面で、$[p_i]$ の局所方程式は $z$ なので、$D$ と $\sum_ia_i[p_i]$ は同じ因子です。定理 6.2 の 1 と 定理 4.5 の 3 から $c_1(\mathcal{O}(D))=\sum_ia_i\,c_1(\mathcal{O}(p_i))$ で、(1) を $D=\{p_i\}$、$\alpha=1$ に使うと $\int_Xc_1(\mathcal{O}(p_i))=1$ です。よって $\int_Xc_1(\mathcal{O}(D))=\sum_ia_i=\deg D$ です。

$0$ でない有理型切断 $s$ については $L\cong\mathcal{O}(\operatorname{div}(s))$（定理 6.2 の 3。$X$ は連結としてよく、そのとき $0$ でない有理型切断の成分は $\mathcal{M}^{*}$ に入ります）から $\int_Xc_1(L)=\deg\operatorname{div}(s)$ です。正則切断では $\operatorname{ord}_p\ge0$ なので、これは零点の個数です。有理型関数は自明束の有理型切断で、$c_1=0$ なので $\deg\operatorname{div}(f)=0$、つまり零点と極の個数は等しいです。

∎

(1) は、$c_1(\mathcal{O}(D))$ が $D$ の「Poincaré 双対」であることを微分形式の言葉で述べています。左辺は $D$ という部分多様体の上の積分、右辺は $X$ 全体の上の積分で、$\frac{i}{2\pi}\bar\partial\partial\log|s|_h^2$ が $D$ に集中したデルタ関数と滑らかな曲率形式の差になっている、と読めます。(2) の数 $\int_Xc_1(L)$ を $L$ の次数 $\deg L$ といいます。次数は整数で（定理 4.1［Chern–Weil 理論と特性類］ とも整合します）、負の次数の直線束は $0$ 以外の正則切断をもちません。

8. 例

例 8.1（ℙ¹ 上の 𝒪(k)）

$\mathbb{P}^1$ の $U_0$ の座標を $w=z_1/z_0$、$U_1$ の座標を $v=z_0/z_1=1/w$ とします。$\mathcal{O}(k)$ の変換関数は $g_{01}=(z_1/z_0)^k=w^k$ で、切断は $s_0(w)=w^ks_1(1/w)$ を満たす正則関数の組です。$k\ge0$ のとき $s_0(w)=a_0+a_1w+\dots+a_kw^k$、$s_1(v)=a_0v^k+\dots+a_k$ で、切断の空間は $k+1$ 次元です。この切断の零点は、$s_0$ の根（$k$ 次未満なら残りは $v=0$ での零点）で、重複度を込めてちょうど $k$ 個です。これは $\deg\mathcal{O}(k)=k\int_{\mathbb{P}^1}\omega_{FS}=k$ と 定理 7.1 の 2 に合っています。

定理 5.3 により $K_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)$、したがって $T\mathbb{P}^1\cong\mathcal{O}(2)$ です。正則ベクトル場は $(a_0+a_1w+a_2w^2)\,\partial/\partial w$ の 3 次元で、$\mathbb{P}^1$ の正則接束は自明ではありません（自明なら正則切断の空間は 1 次元です）。これに対して複素トーラスの正則接束は、平行移動で不変な枠 $\partial/\partial z_j$ により自明です。

例 8.2（楕円曲線上の直線束とテータ関数）

$\operatorname{Im}\tau>0$、$\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$、$E=\mathbb{C}/\Lambda$ とします。$\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ への $\Lambda$ の作用を

$$1\cdot(z,v)=(z+1,v),\qquad\tau\cdot(z,v)=(z+\tau,\ e^{-2\pi iz-\pi i\tau}v)$$

で定めると（二つの変換は可換です）、商は $E$ 上の正則直線束 $L$ になります。$L$ の正則切断は、$\theta(z+1)=\theta(z)$、$\theta(z+\tau)=e^{-2\pi iz-\pi i\tau}\theta(z)$ を満たす整関数 $\theta$ に対応します。Jacobi のテータ関数

$$\theta(z)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}e^{\pi im^2\tau+2\pi imz}$$

は、$\operatorname{Im}\tau>0$ から $|e^{\pi im^2\tau}|=e^{-\pi m^2\operatorname{Im}\tau}$ なので広義一様に収束し、$m\to m+1$ と添字をずらすと二つ目の関係式を満たすことがわかります。第 1 の周期性から $\theta$ は $e^{2\pi iz}$ の Laurent 級数で、第 2 の関係式が係数の漸化式を与えるので、切断の空間は 1 次元です。したがって $\deg L$ は $\theta$ の基本平行四辺形内の零点の個数で、偏角の原理で数えると $1$ です。$E$ 上の定数でない有理型関数は、このような「関数ではない切断」の比として作られます。

例 8.3（Hopf 曲面上の直線束）

Hopf 曲面 $H=(\mathbb{C}^2\setminus\{0\})/\mathbb{Z}$（例 6.5［複素多様体と正則写像］）の上で、$c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ に対し、$(\mathbb{C}^2\setminus\{0\})\times\mathbb{C}$ への作用 $k\cdot(z,v)=(2^kz,c^kv)$ の商として正則直線束 $L_c$ を作ります。$(z,v)$ のノルムの 2 乗を $|z|^{-2a}|v|^2$（$a=\log|c|/\log2$）とすると、$|2z|^{-2a}|cv|^2=2^{-2a}|c|^2|z|^{-2a}|v|^2=|z|^{-2a}|v|^2$ なので作用で不変で、$L_c$ の Hermite 計量が定まります。その第一 Chern 形式は $\frac{ia}{2\pi}\partial\bar\partial\log|z|^2$ で、$|c|\ne1$ なら形式としては $0$ ではありません。しかし $H$ は $S^1\times S^3$ に微分同相で $H^2_{\mathrm{dR}}(S^1\times S^3)=0$ なので、類としては $c_1(L_c)=0$ です。

$L_c$ の正則切断は、$\mathbb{C}^2\setminus\{0\}$ 上の正則関数 $f$ で $f(2z)=cf(z)$ を満たすものです。$f$ は Hartogs の定理で $\mathbb{C}^2$ に延び、べき級数の斉次成分 $f_m$ について $2^mf_m=cf_m$ なので、$c=2^m$（$m\ge0$）のときに限り $0$ でない切断（$m$ 次斉次多項式）があります。とくに $c=2$ のとき切断の空間は 2 次元、$c=1/2$ のとき $0$ で、$L_2$ と $L_{1/2}$ は自明束に同型ではありません。第一 Chern 類が $0$ でも正則直線束としては自明とは限らないことの例です。

9. 演習

演習 9.1易

$\mathbb{P}^1$ 上の $\mathcal{O}(k)$ に、$U_0$ 上の正則枠のノルムの 2 乗が $h_0=(1+|w|^2)^{-k}$ である Hermite 計量を入れる。(a) $U_1$ 上の正則枠のノルムの 2 乗 $h_1$ を $v=1/w$ で表し、$v=0$ でも滑らかで正であることを確かめよ。(b) 第一 Chern 形式を求め、$\mathbb{P}^1$ 上の積分が $k$ であることを示せ。

解答

(a) 変換関数は $g_{01}=w^k$ で、$h_1=|g_{01}|^2h_0=|w|^{2k}(1+|w|^2)^{-k}=(1+|v|^2)^{-k}$ です（$|w|^2/(1+|w|^2)=1/(1+|v|^2)$）。$v=0$ で滑らかで正です。

(b) 命題 4.3 の 2 により $c_1=-\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log h_0=\frac{ik}{2\pi}\partial\bar\partial\log(1+|w|^2)=\frac{ik}{2\pi}\frac{dw\wedge d\bar w}{(1+|w|^2)^2}$ です。これは $k\,\omega_{FS}$ で、定理 5.2 の 3 の計算から積分は $k$ です。

演習 9.2標準

$\mathcal{O}(-1)$ の全空間 $Z=\{([z],v)\in\mathbb{P}^n\times\mathbb{C}^{n+1}:v\in\mathbb{C}z\}$ から $\mathbb{C}^{n+1}$ への写像 $\sigma([z],v)=v$ を考える。(a) $\sigma$ は正則で、零切断 $Z_0=\{v=0\}\cong\mathbb{P}^n$ を原点に写し、$Z\setminus Z_0$ を $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ に双正則に写すことを示せ。(b) $U_0$ 上の自明化から来る $Z$ の座標 $(w_1,\dots,w_n,c)$ で $\sigma$ を書き、複素 Jacobi 行列式を求めよ。

解答

(a) $U_j$ 上の自明化 $([z],v)\mapsto([z],v_j)$ の逆は $([z],c)\mapsto([z],c\,z/z_j)$ なので、座標で $\sigma=c\cdot(z/z_j)$ は正則です。$v=0$ のとき像は原点です。$v\ne0$ なら $[z]=[v]$ と決まるので、$v\mapsto([v],v)$ が $\sigma|_{Z\setminus Z_0}$ の逆写像で、$U_j$ 上の座標では $v\mapsto((v_i/v_j)_{i\ne j},v_j)$ と正則です。

(b) $U_0$ 上で $z/z_0=(1,w_1,\dots,w_n)$ なので $\sigma(w,c)=(c,cw_1,\dots,cw_n)$ です。Jacobi 行列は、変数を $(c,w_1,\dots,w_n)$ の順に並べると、第 1 行が $(1,0,\dots,0)$、第 $i+1$ 行が $(w_i,0,\dots,c,\dots,0)$ の下三角行列で、行列式は $c^n$ です。$c=0$（零切断）でだけ退化し、そこでは $\mathbb{P}^n$ 全体が 1 点につぶれます。$Z$ は $\mathbb{C}^{n+1}$ の原点での爆発です。

演習 9.3標準

$P_1,P_2$ を次数 $d_1,d_2$ の斉次多項式とし、$Y_1=V(P_1)\subseteq\mathbb{P}^n$ が非特異な超曲面、$Y=Y_1\cap V(P_2)$ が $Y_1$ の非特異な超曲面で、各 $U_j$ 上で $P_2/z_j^{d_2}$ の $Y_1$ への制限が $Y$ の各点で $0$ でない微分をもつとする。$K_Y\cong\mathcal{O}(d_1+d_2-n-1)|_Y$ を示せ。また $n=4$、$(d_1,d_2)=(2,3)$ と $n=3$、$(d_1,d_2)=(2,2)$ のとき、$Y$ の次元と標準束を答えよ。

解答

例 6.4 により $K_{Y_1}\cong\mathcal{O}(d_1-n-1)|_{Y_1}$ です。$Y_1$ の中で、$Y$ は $Y_1\cap U_j$ 上の関数 $(P_2/z_j^{d_2})|_{Y_1}$ で定義され、仮定によりこれは 定理 6.3 の 1 の条件を満たすので $[Y]$ の局所方程式です。その比は $(z_k/z_j)^{d_2}$ なので $\mathcal{O}_{Y_1}(Y)\cong\mathcal{O}(d_2)|_{Y_1}$ です。$Y\subseteq Y_1$ に随伴公式を使って

$$K_Y\cong\bigl(K_{Y_1}\otimes\mathcal{O}_{Y_1}(Y)\bigr)|_Y\cong\mathcal{O}(d_1-n-1+d_2)|_Y$$

です。$n=4$、$(2,3)$ のとき $Y$ は 2 次元で $K_Y$ は自明（K3 曲面）、$n=3$、$(2,2)$ のとき $Y$ は 1 次元で $K_Y$ は自明（楕円曲線）です。

演習 9.4標準

(a) $\mathbb{P}^1$ 上の有理型 1 形式 $dw$（$w$ は $U_0$ の座標）を $K_{\mathbb{P}^1}$ の有理型切断と見て因子を求め、$\deg K_{\mathbb{P}^1}=-2$ を示せ。(b) 楕円曲線 $\mathbb{C}/\Lambda$ について $\deg K=0$ を示せ。(c) コンパクト Riemann 面 $X$ 上の正則直線束 $L$ が $\deg L<0$ を満たせば $H^0(X,L)=0$ であることを示せ。

解答

(a) $U_0$ 上で $dw$ は正則枠そのものなので零点も極もありません。$U_1$ の座標 $v=1/w$ では $dw=-v^{-2}dv$ で、正則枠 $dv$ についての成分 $-v^{-2}$ は $v=0$ で 2 位の極をもちます。よって $\operatorname{div}(dw)=-2[\infty]$ で、定理 7.1 の 2 により $\deg K_{\mathbb{P}^1}=-2$ です。これは $K_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)$ と合っています。

(b) $dz$ は平行移動で不変なので $\mathbb{C}/\Lambda$ 上の零点をもたない正則 1 形式で、$\operatorname{div}(dz)=0$、$\deg K=0$ です（$K$ は自明束です）。

(c) $0$ でない正則切断 $s$ があれば、$\deg L=\deg\operatorname{div}(s)$ は零点の個数なので $0$ 以上です。対偶により、$\deg L<0$ なら正則切断は $0$ だけです。

参考文献

• D. Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Springer, 2005 — Chapter 2 の §2.2–2.4（正則ベクトル束、因子と直線束、射影空間）、Chapter 4 の §4.2–4.3（接続と曲率）。
• P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978 — Chapter 0 の §5、Chapter 1 の §1（因子と直線束、Poincaré–Lelong の式、随伴公式）。
• R. O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, 3rd ed., Springer, 2008 — Chapter III（Hermite 微分幾何と Chern 類）。
• 小林昭七『複素幾何』岩波書店、2005 — 第 3 章・第 4 章。
• S. Kobayashi, Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Princeton University Press, 1987 — Chapter I。
• J.-P. Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry（著者のウェブサイトで公開されている教科書）— Chapter V。