Euler 完全列と射影空間の標準束

定理 5.3（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{P}^n$ 上に、正則ベクトル束の正則な準同型の列

0\to\mathcal{O}\xrightarrow{\ a\ }\mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)}\xrightarrow{\ b\ }T\mathbb{P}^n\to0

で、各ファイバーで完全なものがある。 $a$ は $1\mapsto(z_0,\dots,z_n)$ （ $z_i$ を $\mathcal{O}(1)$ の切断と見る）、 $b$ は点 $[z]$ で $(\sigma_0,\dots,\sigma_n)\mapsto d\pi_z\bigl(\sum_i\sigma_i(z)\,\partial/\partial z_i\bigr)$ で与えられる。 2. $U_j$ の座標を $w^{(j)}=\varphi_j$ とすると、 $U_j\cap U_k$ 上で

\det\Bigl(\frac{\partial w^{(k)}}{\partial w^{(j)}}\Bigr)=(-1)^{k-j}\Bigl(\frac{z_j}{z_k}\Bigr)^{n+1}

であり、 $K_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則接束・標準束・法束定義 2.4・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- コサイクルからの再構成✓命題 2.2・ファイバー束・主束と接続

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Euler 完全列と射影空間の標準束

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）