数学 › 微分幾何学 › ファイバー束・主束と接続

コサイクルからの再構成

命題 2.2（「ファイバー束・主束と接続」§2）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を Lie 群、 $F$ を $G$ が左から滑らかに作用する多様体とする。 $M$ の開被覆 $\{U_\alpha\}$ と、コサイクル条件を満たす滑らかな $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to G$ が与えられたとき、

E=\bigsqcup_\alpha U_\alpha\times F\Big/\sim,\qquad(\alpha,x,f)\sim(\beta,x,g_{\beta\alpha}(x)f)\quad(x\in U_\alpha\cap U_\beta)

は $M$ 上の、ファイバー $F$ 、変換関数 $g_{\alpha\beta}$ のファイバー束である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 3 件

正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
直和・テンソル積・双対の構成✓命題 2.4・ファイバー束・主束と接続
引き戻し・部分束・商束はベクトル束✓補題 2.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

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