正則コサイクルと正則ベクトル束

補題 2.2（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を複素多様体、 $\{U_\alpha\}$ を開被覆とする。

正則写像 $g_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to GL_r(\mathbb{C})$ の族がコサイクル条件 $g_{\alpha\alpha}=1$ 、 $g_{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=g_{\alpha\gamma}$ （ $U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma$ 上）を満たせば、これを変換関数とする正則ベクトル束がある。
同じ被覆の上の二つの正則コサイクル $g_{\alpha\beta},g'_{\alpha\beta}$ が定める正則ベクトル束 $E,E'$ について、正則な同型 $E\to E'$ は、正則写像 $f_\alpha:U_\alpha\to GL_r(\mathbb{C})$ の族で $g'_{\alpha\beta}=f_\alpha\,g_{\alpha\beta}\,f_\beta^{-1}$ を満たすものと一対一に対応する。
正則直線束 $L$ が自明束 $X\times\mathbb{C}$ に正則に同型であることと、零点をもたない正則切断 $s\in H^0(X,L)$ が存在することは同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。