1 点の爆発

$X$ を $n$ 次元の複素多様体（$n\ge1$）、$x\in X$ とし、$x$ を中心とする正則チャート $z\colon U\to\mathbb{C}^n$（$z(x)=0$）と、$\overline{B_\varepsilon}\subset z(U)$ となる $\varepsilon\gt0$ を取る。$X\setminus\lbrace x\rbrace$ と $\tilde B_\varepsilon$ を、$p\in z^{-1}(B_\varepsilon)\setminus\lbrace x\rbrace$ と $(z(p),[z(p)])$ を同一視して貼り合わせた空間を $\tilde X$、$\sigma\colon\tilde X\to X$ を $X\setminus\lbrace x\rbrace$ 上の恒等写像と $\tilde B_\varepsilon$ 上の $z^{-1}\circ\sigma$ から定まる写像、$E=\sigma^{-1}(x)$ とする。

1. $\tilde X$ は $n$ 次元の複素多様体、$\sigma$ は正則写像で、$\tilde X\setminus E\to X\setminus\lbrace x\rbrace$ は双正則である。$E$ は余次元 1 の閉な複素部分多様体で、$\mathrm{pr}$ により $\mathbb{P}^{n-1}$ と双正則である。$y\in E$ について $\ker d\sigma_y=T_yE$ である。
2. $X$ がコンパクトなら $\tilde X$ もコンパクトである。
3. $\tilde B_\varepsilon$ の上で $\mathcal{O}(E)\cong\mathrm{pr}^*\mathcal{O}(-1)$。とくに $\mathcal{O}(E)|_E\cong\mathcal{O}(-1)$、$\mathcal{O}(-E)|_E\cong\mathcal{O}(1)$。
4. $K_{\tilde X}\cong\sigma^*K_X\otimes\mathcal{O}((n-1)E)$。

$\tilde X$ を $X$ の $x$ での爆発、$E$ を例外因子という。$n=1$ のときは $\tilde X=X$、$\sigma=\mathrm{id}$、$E=\lbrace x\rbrace$ である。