因子と直線束の対応

定理 6.2（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を複素多様体とする。

$\mathcal{O}(D)$ の同型類は因子 $D$ の代表の取り方によらず、 $D\mapsto[\mathcal{O}(D)]$ は群準同型 $\operatorname{Div}(X)\to\operatorname{Pic}(X)$ である。
$\mathcal{O}(D)$ が自明であることと、 $D$ が主因子であることは同値である。したがって $\mathcal{O}(D)\cong\mathcal{O}(D')$ は、 $D-D'$ が主因子であることと同値である（このとき $D$ と $D'$ は線型同値であるという）。
正則直線束 $L$ が、どの $s_\alpha$ も $\mathcal{M}^{*}(U_\alpha)$ に属する有理型切断 $s$ をもてば、 $L\cong\mathcal{O}(\operatorname{div}(s))$ である。 $s$ が正則切断なら $\operatorname{div}(s)$ は有効因子である。逆に $\mathcal{O}(D)$ は有理型切断 $s_D$ をもち、 $D$ が有効なら $s_D$ は正則切断である。
$A\subseteq X$ を解析的超曲面とする。被約な局所定義関数の族 $\{(V,f_V)\}$ に $(X\setminus A,1)$ を加えたものは有効因子 $[A]$ を定める。 $\mathcal{O}(A):=\mathcal{O}([A])$ は、零点集合がちょうど $A$ である正則切断 $s_A$ をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 144 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- コサイクルからの再構成✓命題 2.2・ファイバー束・主束と接続
解析的超曲面の局所的な構造✓系 9.4・複素多様体と正則写像
- 正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像
  - 複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
    零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
    零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用この先をたどる →
    対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
  - 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
- 互いに素な Weierstrass 多項式の Bézout 関係式✓補題 9.3・複素多様体と正則写像
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - モニックな因子は係数環に入る✓補題 9.1・複素多様体と正則写像
    有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
    原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 根の評価✓補題 8.3・複素多様体と正則写像
- 𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像
  - 𝒪ₙ は整域で局所環✓補題 8.2・複素多様体と正則写像
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
    局所環・半局所環・剰余体定義 3.8・局所化と素イデアルのスペクトル
    正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像（上で展開済み）
  - Weierstrass 多項式の因子✓補題 8.6・複素多様体と正則写像
    Weierstrass の割り算定理✓定理 8.5・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    Weierstrass の準備定理✓定理 8.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  - 一意分解整域（UFD）定義 2.2・多項式環と体の拡大

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Poincaré–Lelong の公式と Riemann 面上の次数✓定理 7.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
弱 Lefschetz 定理✓系 4.4・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
1 点の爆発✓定理 5.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
Riemann 面の Riemann–Roch の定理✓命題 9.4・層コホモロジーと直線束

因子と直線束の対応

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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