Poincaré–Lelong の公式と Riemann 面上の次数

定理 7.1（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体とする。

$D\subseteq X$ を非特異な超曲面、 $h$ を $\mathcal{O}(D)$ の Hermite 計量、 $\alpha\in A^{2n-2}(X)$ を $d$ 閉形式とする。このとき

\int_D\alpha=\int_Xc_1(\mathcal{O}(D),h)\wedge\alpha

が成り立つ（ $D$ には複素多様体としての標準的な向きを入れる。 $n=1$ のとき左辺は $D$ の点での $\alpha$ の値の和である）。 2. $n=1$ （ $X$ はコンパクト Riemann 面）とする。因子 $D=\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$ の点 $p$ での位数を $\operatorname{ord}_p(D)=\operatorname{ord}_p(f_\alpha)$ とし、 $\deg D=\sum_p\operatorname{ord}_p(D)$ （有限和）とおく。このとき $\int_Xc_1(\mathcal{O}(D))=\deg D$ である。したがって、正則直線束 $L$ の $0$ でない有理型切断 $s$ について $\int_Xc_1(L)=\deg\operatorname{div}(s)$ で、とくに $0$ でない正則切断の零点の個数（重複度込み）は $\int_Xc_1(L)$ に等しく、 $0$ でない有理型関数の零点の個数と極の個数（重複度込み）は等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 160 件、定義なども含めて 194 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

随伴公式✓定理 6.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
- 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
    長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
有理型関数と位数定義 2.1・偏角の原理と Rouché の定理
因子と直線束の対応✓定理 6.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - コサイクルからの再構成✓命題 2.2・ファイバー束・主束と接続
- 解析的超曲面の局所的な構造✓系 9.4・複素多様体と正則写像
  - 正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像
    複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像（上で展開済み）
  - 互いに素な Weierstrass 多項式の Bézout 関係式✓補題 9.3・複素多様体と正則写像
    整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
    モニックな因子は係数環に入る✓補題 9.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 根の評価✓補題 8.3・複素多様体と正則写像
  - 𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
- Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類
  - 共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
    ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続この先をたどる →
    曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
  - 接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
    切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

コンパクト Riemann 面は射影的✓系 7.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
Riemann 面の Riemann–Roch の定理✓命題 9.4・層コホモロジーと直線束

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