Weierstrass 多項式の因子

補題 8.6（「複素多様体と正則写像」§8）・ ✓公理まで証明済み

$W\in\mathcal{O}_{n-1}[z_n]$ を $d$ 次の Weierstrass 多項式（ $d\ge1$ ）とする。

$g\in\mathcal{O}_{n-1}[z_n]$ が $\mathcal{O}_n$ の中で $g=qW$ と書ければ、 $q\in\mathcal{O}_{n-1}[z_n]$ である。
$\mathcal{O}_n$ の中で $W=f_1f_2$ ならば、Weierstrass 多項式 $W_1,W_2$ と単元 $u_1,u_2$ があって $f_i=u_iW_i$ 、 $W=W_1W_2$ となる。
$W$ が $\mathcal{O}_n$ の既約元であることと、 $\mathcal{O}_{n-1}[z_n]$ の既約元であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 89 件、定義なども含めて 104 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Weierstrass の割り算定理✓定理 8.5・複素多様体と正則写像
- 根の評価✓補題 8.3・複素多様体と正則写像
- 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
Weierstrass の準備定理✓定理 8.4・複素多様体と正則写像
- 正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像
  - 複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論（上で展開済み）
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
    零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
  - 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像（上で展開済み）
- 偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
  - 零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理
    一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
    コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
    留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
  - 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
- 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像（上で展開済み）
- Newton の恒等式✓定理 5.3・多項式の割り算と高次方程式
  - 解と係数の関係✓定理 4.3・多項式の割り算と高次方程式
    代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    剰余の定理・因数定理✓定理 2.3・多項式の割り算と高次方程式この先をたどる →
    代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式この先をたどる →
  - 因数分解の公式✓命題 5.1・数と式
- リーマンの除去可能特異点定理✓命題 6.3・正則関数の強力な性質
  - ローラン展開✓定理 6.1・正則関数の強力な性質
    積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- 根の評価✓補題 8.3・複素多様体と正則写像

これを使っている定理証明で参照している 1 件

𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像

Weierstrass 多項式の因子

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件