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解と係数の関係

定理 4.3（「多項式の割り算と高次方程式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in\mathbb{C}[x]$ 、 $n\ge1$ 、 $a_n\ne0$ とする。このとき複素数 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ （重複を許す）が存在して

f(x)=a_n(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)

となり、 $f$ の根はちょうど $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ である。さらに $k=1,\dots,n$ について

\frac{a_{n-k}}{a_n}=(-1)^k\,e_k(\alpha_1,\dots,\alpha_n).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
- リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
剰余の定理・因数定理✓定理 2.3・多項式の割り算と高次方程式
- 多項式の除法の原理✓定理 2.2・多項式の割り算と高次方程式
  - 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
    数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術この先をたどる →
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式（上で展開済み）
代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式
- 多項式環定義 6.1・環と体の基礎

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Maclaurin の不等式✓定理 6.6・式と証明
Newton の恒等式✓定理 5.3・多項式の割り算と高次方程式
正多角形の頂点までの距離の積✓定理 5.2・複素数平面と作図

関連するノック 3 問