正多角形の頂点までの距離の積

定理 5.2（「複素数平面と作図」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge2$ 、 $\omega=\omega_n$ とする。

$z^n-1=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega^k)$ 。
任意の複素数 $p$ について、 $p$ から単位円に内接する正 $n$ 角形の頂点 $\omega^k$ までの距離の積は $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}|p-\omega^k|=|p^n-1|$ 。とくに $p=e^{i\theta}$ では $2\left|\sin\dfrac{n\theta}2\right|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 71 件、定義なども含めて 88 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

複素数の n 乗根✓定理 5.4・複素数と複素平面
- ド・モアブルの定理✓定理 5.1・複素数と複素平面
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
    ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定この先をたどる →
    絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定この先をたどる →
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
- オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面
  - 余弦・正弦（べき級数による定義）定義 6.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 共役複素数と絶対値定義 3.1・複素数と複素平面
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 極形式の存在と偏角の一意性✓補題 4.4・複素数と複素平面
  - 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
    中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
    微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
- 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
解と係数の関係✓定理 4.3・多項式の割り算と高次方程式
- 代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
  - リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 剰余の定理・因数定理✓定理 2.3・多項式の割り算と高次方程式
  - 多項式の除法の原理✓定理 2.2・多項式の割り算と高次方程式
    完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術この先をたどる →
    多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  - 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式（上で展開済み）
- 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎

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