高校数学：図形と幾何

数学高校〜一般無料 14 章有料 0 章

高校の数学 I・A・II・C の図形の範囲（図形と計量・図形の性質・図形と方程式・ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）と、初等幾何の名定理を扱う。

想定読者: 高校生、高校数学を学び直す大学生・社会人、初等幾何の名定理に興味のある人

前提テーマ:高校数学：数と式・整数・数列

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章平面ベクトルと座標無料座標平面 R^2 を出発点に、1 次独立・内積・向きつきの角・内分点・点の存在範囲・符号付き面積・回転行列を定義から証明し、Leibniz の公式から中線定理・Varignon の定理・Euler の四辺形定理を導く。
2. 第 2 章合同と相似：座標平面から三角形の基本定理へ無料距離を保つ写像が直交行列と平行移動の合成であることから出発し、三角形の合同条件・相似条件・平行線と角・内角の和 π・辺と角の大小・角の二等分線の定理を、ユークリッドの公準を使わずに証明する。
3. 第 3 章三角比と三角形の計量無料三角比の 2 つの定義が一致することを確かめ、余弦定理・正弦定理（外接円の半径を含む形）・面積公式・Heron の公式・三角形の決定の解の個数・Stewart の定理・Bretschneider の公式・三角形の等周問題を、内積と行列式から証明する。
4. 第 4 章円の幾何：円周角・接線・方べき無料円周上の点を e(θ) と書いて弦の方向と長さを求め、円周角の定理とその逆（4 点が同一円周上にある条件）、内接四角形、接弦定理、方べきの定理とその逆、根軸と根心、2 円の位置関係と共通接線の本数を場合分けなしで証明する。
5. 第 5 章円の名定理：Ptolemy・Brahmagupta・Miquel・蝶無料円周角の定理と方べきの定理を道具に、Ptolemy の定理と第 2 定理、Brahmagupta の公式と定理、Miquel の定理、蝶の定理、Archimedes の折れ弦の定理、Pitot の定理、目玉の定理、最大視角の問題（Regiomontanus）を証明する。
6. 第 6 章三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理無料重心・外心・内心・傍心・垂心の存在を位置ベクトルで証明し、Ceva・Menelaus・Routh・van Aubel・Viviani の定理を重心座標と符号付き面積の計算で示す。五心が一致するのは正三角形に限ることも証明する。
7. 第 7 章三角形の名定理：オイラー線・九点円・シムソン線無料外心を原点にとるベクトルの計算で Euler 線・九点円・Euler の三角形の定理 OI^2 = R^2 - 2Rr を示し、Simson 線と Steiner 線、Fermat 点（120 度の条件と最小性）、Erdős–Mordell の不等式、等角共役点の存在を証明する。
8. 第 8 章反転：円と直線の名定理無料円による反転で円と直線が円と直線に移ること・交角が保たれることを方程式の係数の変換で示し、Feuerbach の定理、Steiner の円鎖と Pappus の円鎖、Descartes の円定理、アルベロスの双子円、Monge の定理を証明する。
9. 第 9 章射影の名定理：Desargues・Pappus・Pascal・Morley無料アフィン関数の零点集合として直線を扱い、Desargues の定理と Pappus の六角形定理を計算で、Pascal の定理（円）を Menelaus と方べきで、Brianchon の定理を極と極線の双対で、複比の中心射影不変性、Newton–Gauss 線、Morley の三等分線の定理を証明する。
10. 第 10 章図形と方程式：直線・円・軌跡・領域無料直線と円の方程式、点と直線の距離、接線、極と極線、円の束、Apollonius の円、領域と線形計画法、通過領域、多角形の面積の靴ひも公式、Gauss の円問題、Sylvester–Gallai の定理を座標とベクトルから証明する。
11. 第 11 章空間座標と空間ベクトル無料空間のベクトルと外積から平面・球面の方程式、点と平面の距離、三垂線の定理、正射影の面積を示し、四面体の体積を行列式と測度から証明して Cayley–Menger の公式、de Gua の定理、外接球・内接球、等面四面体へ進む。
12. 第 12 章立体の体積・球面・多面体無料Cavalieri の原理を Tonelli の定理から証明して錐体・擬柱体・球の体積を求め、球帯の面積、球面の余弦定理、Girard の定理（球面三角形の面積）を示し、これを使って凸多面体の Euler の多面体定理・角欠損・正多面体の分類・正多角形による敷き詰め・Bolyai–Gerwien の定理を証明する。
13. 第 13 章2 次曲線：焦点・離心率・極方程式無料放物線・楕円・双曲線を焦点で定義して標準形と焦点半径を導き、焦点と準線による統一、円錐の切り口、接線と反射の性質、媒介変数表示と極方程式、一般の 2 次曲線の分類、共役直径、内接三角形の最大面積を証明する。
14. 第 14 章複素数平面と作図無料複素数の積を回転相似として読み、共線・直交・正三角形・4 点共円を複素数の条件で表す。反転、Napoleon・van Aubel・Pompeiu の定理、1 の冪根と三角関数、結晶学的制限、離散 Fourier 変換、作図可能な数を証明する。