反転：円と直線を区別しない見方と、Feuerbach・円鎖・Descartes・Monge の定理

0. この記事の要点

円をどんどん大きくしていくと、円周は直線に近づいていきます。この記事は、その「円と直線を区別しない」見方を、反転という一つの変換と簡単な計算で確かめ、そこから初等幾何の有名な定理をいくつか証明します。読み終えると、円や直線が反転でどんな図形に移るかを式で計算でき、後半の定理が同じ道具から出てくる様子が分かります。

• 反転は、中心 $O$ からの距離 $d$ の点を、同じ半直線上の距離 $k^2/d$ の点に移す変換です。円と直線をまとめて「一般化された円」$a|\boldsymbol x|^2+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol x+c=0$ と書くと、反転は係数の入れ替え $(a,\boldsymbol b,c)\mapsto(c,k^2\boldsymbol b,ak^4)$ にすぎません（定理 2.3）。円と直線が円と直線に移ること、交わる角が保たれることが、この式から従います（命題 2.4）。
• Feuerbach の定理（九点円は内接円と 3 つの傍接円（三角形の一辺と、他の二辺の延長に接する円）に接する）は、反転を使う証明が有名ですが、ここでは前の章の $A\cdot B=R^2-c^2/2$ のベクトル計算で、4 つの円を一度に証明します（定理 3.1）。反転を使う証明の考え方は注意に添えます。
• Pappus の円鎖は、反転で 2 本の平行線の間に並ぶ等しい円に直せば、円の中心の高さが直径の整数倍であることが一目で分かります（定理 4.5）。Steiner の円鎖は、反転で同心円の間の円の列に直せることから、円鎖が閉じるかどうかは最初の円の選び方によらないことを示します（定理 4.4）。
• Descartes の円定理は 4 つの円が互いに接するときの曲率の関係式で、3 本のベクトルのグラム行列（ベクトルどうしの内積を並べた行列）の行列式が $0$ であること（平面では 3 本のベクトルが 1 次従属）から証明します（定理 5.1）。アルベロスの双子円、Monge の定理も短い計算で証明します。
• 射影幾何の名定理（Desargues・Pappus の六角形・Pascal・Brianchon・複比・Newton–Gauss 線・Morley）は、次の章（射影の名定理）にまとめます。

この記事で使う事前知識

• 九点円: 三角形の各辺の中点・各頂点から対辺に下ろした垂線の足など 9 点を通る円。→ 三角形の名定理
• 方べき: 点から円に引いた直線が円と交わる 2 点までの距離の積（点の位置だけで決まる量）。→ 方べき
• 接線: 円と 1 点だけを共有する直線。→ 接線
• 内積: 2 つのベクトルの長さと間の角から決まる数で、長さや垂直の判定に使う。→ 内積
• 円の方程式: 円も直線も $x,y$ の方程式で表せるという、図形と方程式の考え方。→ 図形と方程式

1. 動機 — 円と直線を、同じものとして扱う

初等幾何の問題では、「直線」と「円」はよく入れ替わります。円の半径を無限に大きくすると直線になり、直線は「無限遠点を通る円」と見なせます。この見方を、計算で保証するのが反転です。

高校の数学でも、円の方程式 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ と直線の方程式 $px+qy+r=0$ はよく似た形をしています。両方を $a(x^2+y^2)+px+qy+c=0$ の形にまとめると、$a=0$ のとき直線、$a\ne0$ のとき円です。反転は、この式の係数 $a$ と $c$ を入れ替える操作にほかなりません。これだけで、「円を円または直線に移す」「角を保つ」という反転の基本性質がすべて出ます。

この章では、これまでの章で作った道具（内積・行列式・円周角・方べき・三角形の中心の公式、円の方程式）を総動員して、反転にかかわる名定理を証明します。

2. 反転

定義 2.1（円による反転）↗

点 $O$ と $k>0$ に対し、$X\ne O$ を

$$\iota(X)=O+\frac{k^2}{|X-O|^2}\,(X-O)$$

に移す写像 $\iota$ を、$O$ を中心、$k$ を半径とする反転という。$\iota(X)$ は半直線 $OX$ 上にあり、$|OX|\cdot|O\iota(X)|=k^2$ を満たす。$\iota(\iota(X))=X$（$\iota$ は逆写像が自分自身）で、円 $\Gamma(O,k)$ 上の点は動かない。

円と直線を統一して扱うため、方程式の形を決めておきます。

定義 2.2（一般化された円）↗

実数 $a,c$ とベクトル $\boldsymbol b$ が $|\boldsymbol b|^2-4ac>0$ を満たすとき、

$$Z(a,\boldsymbol b,c)=\{\boldsymbol x\mid a|\boldsymbol x|^2+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol x+c=0\}$$

を一般化された円という。$a\ne0$ のときは中心 $-\dfrac{\boldsymbol b}{2a}$、半径 $\dfrac{\sqrt{|\boldsymbol b|^2-4ac}}{2|a|}$ の円（命題 3.1［図形と方程式］）、$a=0$ のときは直線 $\boldsymbol b\cdot\boldsymbol x+c=0$（命題 5.5［平面ベクトルと座標］ の 2）である。逆に、すべての円とすべての直線は、ある $(a,\boldsymbol b,c)$（零でない定数倍を除いて一意）の $Z(a,\boldsymbol b,c)$ である。

定理 2.3（反転で円・直線は円・直線に移る）✓

$O$ を原点、反転の半径を $k$ とする。$Z=Z(a,\boldsymbol b,c)$ について

$$\iota(Z\setminus\{O\})=Z(c,\,k^2\boldsymbol b,\,ak^4)\setminus\{O\}$$

である。したがって次が成り立つ。

1. $O$ を通る直線は、自分自身（$O$ を除く）に移る。
2. $O$ を通らない直線は、$O$ を通る円（$O$ を除く）に移る。
3. $O$ を通る円（$O$ を除く）は、$O$ を通らない直線に移る。
4. $O$ を通らない円は、$O$ を通らない円に移る。

証明（定理 2.3）

$\boldsymbol x\in Z$、$\boldsymbol x\ne\boldsymbol 0$ とし、$\boldsymbol y=\iota(\boldsymbol x)=\dfrac{k^2\boldsymbol x}{|\boldsymbol x|^2}$ とおくと、$|\boldsymbol y|=\dfrac{k^2}{|\boldsymbol x|}$、$\boldsymbol x=\dfrac{k^2\boldsymbol y}{|\boldsymbol y|^2}$ である。これを $a|\boldsymbol x|^2+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol x+c=0$ に代入して $|\boldsymbol y|^2$ を掛けると

$$ak^4+k^2\,\boldsymbol b\cdot\boldsymbol y+c\,|\boldsymbol y|^2=0,$$

すなわち $\boldsymbol y\in Z(c,k^2\boldsymbol b,ak^4)$ である。判別式は $k^4|\boldsymbol b|^2-4c\cdot ak^4=k^4(|\boldsymbol b|^2-4ac)>0$。計算はすべて同値変形なので逆も成り立つ。$O\in Z$ は $c=0$、$O\in Z(c,k^2\boldsymbol b,ak^4)$ は $a=0$ と同値なので、$(a,c)$ が零か否かの 4 通りが 1〜4 に対応する。

∎

命題 2.4（反転は交角を保つ）✓

一般化された円 $Z_i=Z(a_i,\boldsymbol b_i,c_i)$（$i=1,2$）が点 $\boldsymbol x\ne\boldsymbol 0$ で交わるとする。$\boldsymbol x$ での 2 つの接線のなす角 $\varphi\in[0,\pi/2]$ は

$$\cos\varphi=\frac{\bigl|\boldsymbol b_1\cdot\boldsymbol b_2-2(a_1c_2+a_2c_1)\bigr|}{\sqrt{(|\boldsymbol b_1|^2-4a_1c_1)(|\boldsymbol b_2|^2-4a_2c_2)}}$$

で与えられ、反転で変わらない。

証明（命題 2.4）

$\boldsymbol x$ での $Z_i$ の接線は、$\boldsymbol n_i=2a_i\boldsymbol x+\boldsymbol b_i$ に垂直な直線である（円なら $\boldsymbol n_i=2a_i(\boldsymbol x-\text{中心})$ が半径の方向、定義 4.2［円の幾何］。直線なら $\boldsymbol n_i=\boldsymbol b_i$）。$\boldsymbol x\in Z_i$ より $a_i|\boldsymbol x|^2=-\boldsymbol b_i\cdot\boldsymbol x-c_i$ なので、

$$\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2=4a_1a_2|\boldsymbol x|^2+2\boldsymbol x\cdot(a_1\boldsymbol b_2+a_2\boldsymbol b_1)+\boldsymbol b_1\cdot\boldsymbol b_2=\boldsymbol b_1\cdot\boldsymbol b_2-2(a_1c_2+a_2c_1),$$

（$4a_1a_2|\boldsymbol x|^2=2a_2(-\boldsymbol b_1\cdot\boldsymbol x-c_1)+2a_1(-\boldsymbol b_2\cdot\boldsymbol x-c_2)$ を使うと $\boldsymbol x$ を含む項が打ち消し合う）、$|\boldsymbol n_i|^2=|\boldsymbol b_i|^2-4a_ic_i$ である。2 本の接線のなす角の余弦は $|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|/(|\boldsymbol n_1||\boldsymbol n_2|)$ で、上の式を得る。反転で係数は $(a_i,\boldsymbol b_i,c_i)\mapsto(c_i,k^2\boldsymbol b_i,a_ik^4)$ に変わるので、分子は $k^4$ 倍、分母の各因子も $k^4$ 倍になり、比は変わらない。

∎

命題 2.5（反転と距離）✓

反転 $\iota$（中心 $O$、半径 $k$）について、$O$ と異なる 2 点 $X,Y$ に対し

$$|\iota(X)-\iota(Y)|=\frac{k^2\,|X-Y|}{|OX|\,|OY|}$$

である。

証明（命題 2.5）

$O$ を原点とし、$\boldsymbol u=\boldsymbol x/k$、$\boldsymbol v=\boldsymbol y/k$ とおくと $\iota(X)=k\,\dfrac{\boldsymbol u}{|\boldsymbol u|^2}$、$\iota(Y)=k\,\dfrac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol v|^2}$ である。既存の補題 補題 3.1［古典的な不等式と関数方程式］ により $\Bigl|\dfrac{\boldsymbol u}{|\boldsymbol u|^2}-\dfrac{\boldsymbol v}{|\boldsymbol v|^2}\Bigr|=\dfrac{|\boldsymbol u-\boldsymbol v|}{|\boldsymbol u||\boldsymbol v|}$ なので、$|\iota(X)-\iota(Y)|=k\cdot\dfrac{|\boldsymbol x-\boldsymbol y|/k}{|\boldsymbol x||\boldsymbol y|/k^2}=\dfrac{k^2|X-Y|}{|OX||OY|}$。

∎

反転（中心 O、半径 k の円）。X と X' は O から同じ向きにあり |OX|·|OX'| = k²。O を通らない直線（点線）は、O を通る小さな円に移る

3. Feuerbach の定理

内接円と 3 つの傍接円（内心 $I$、傍心 $I_A,I_B,I_C$、半径 $r,r_A,r_B,r_C$。定理 4.2［三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理］、定理 4.3［三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理］）を、符号を使ってまとめます。$\sigma=(\sigma_a,\sigma_b,\sigma_c)$ を $(1,1,1)$、$(-1,1,1)$、$(1,-1,1)$、$(1,1,-1)$ のいずれかとし、

$$T_\sigma=\sigma_aa+\sigma_bb+\sigma_cc,\qquad I_\sigma=\frac{\sigma_aaA+\sigma_bbB+\sigma_ccC}{T_\sigma},\qquad r_\sigma=\frac{2S}{T_\sigma}$$

とおくと、$\sigma=(1,1,1)$ が内心と内接円、他の 3 つが傍心 $I_A,I_B,I_C$ と傍接円である。

ここでのねらいは、九点円の中心 $N$ と各円の中心の距離が、九点円の半径 $R/2$ と各円の半径の和または差に等しいことを示すことです。中心間の距離が半径の和か差に等しければ 2 つの円は接するので、これで接することが言えます。符号 $\sigma$ は、内接円と 3 つの傍接円を 1 つの計算で同時に済ませるための記号です。

定理 3.1（Feuerbach の定理）✓

三角形 $ABC$ の九点円（中心 $N$、半径 $R/2$、定理 2.2［三角形の名定理］）について、

$$|NI|=\frac R2-r,\qquad|NI_A|=\frac R2+r_A,\quad|NI_B|=\frac R2+r_B,\quad|NI_C|=\frac R2+r_C$$

が成り立つ。したがって、内接円は九点円の内部で九点円に接し（$R=2r$ のときは両者は一致する）、3 つの傍接円は九点円の外部で九点円に外接する。

証明（定理 3.1）

外心 $O$ を原点にとり、$x_a=\sigma_aa$、$x_b=\sigma_bb$、$x_c=\sigma_cc$、$p=T_\sigma=x_a+x_b+x_c$、$\rho=\sigma_a\sigma_b\sigma_c\,r_\sigma$（内接円なら $\rho=r$、傍接円なら $\rho=-r_A$ など）とおく。示すのは $|N-I_\sigma|^2=\bigl(\tfrac R2-\rho\bigr)^2$ である。これが示されれば、内接円では $|NI|=|\tfrac R2-r|=\tfrac R2-r$（定理 3.1［三角形の名定理］ の系 $R\ge2r$ による）、傍接円では $|NI_A|=\tfrac R2+r_A$ となる。

$\Sigma=a^2+b^2+c^2$ とおく。前の章 三角形の名定理 の $(\ast)$（$c^2=|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=2R^2-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ から $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=R^2-\tfrac{c^2}2$ など）から次の 3 つが得られる。

• $|\boldsymbol n|^2=\dfrac{|\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c|^2}{4}=\dfrac{9R^2-\Sigma}{4}$（$\boldsymbol n=\tfrac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c)$）。
• $(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c)\cdot(x_a\boldsymbol a+x_b\boldsymbol b+x_c\boldsymbol c)=3R^2p-\tfrac12\bigl(p\Sigma-\sum\sigma_ia_i^3\bigr)$。（各 $x_i$ を $|\boldsymbol a_i|^2=R^2$ と、他の 2 項との内積 $2R^2-\tfrac12(\text{残りの 2 辺の 2 乗の和})$ で展開した。）したがって $\boldsymbol n\cdot\boldsymbol i_\sigma=\dfrac32R^2-\dfrac\Sigma4+\dfrac{\sum\sigma_ia_i^3}{4p}$。
• $|\boldsymbol i_\sigma|^2=R^2-\dfrac{x_ax_bx_c}{p}=R^2-2R\rho$（定理 3.1［三角形の名定理］ の証明と同じ計算で、$abc=4RS$ により $\dfrac{x_ax_bx_c}{p}=\dfrac{\sigma_a\sigma_b\sigma_c\,4RS}{p}=2R\rho$）。

これらから $|\boldsymbol n-\boldsymbol i_\sigma|^2=|\boldsymbol n|^2-2\boldsymbol n\cdot\boldsymbol i_\sigma+|\boldsymbol i_\sigma|^2=\dfrac{R^2}4+\dfrac\Sigma4-\dfrac{\sum\sigma_ia_i^3}{2p}-2R\rho$。目標の右辺は $\dfrac{R^2}4-R\rho+\rho^2$ なので、示すべきは

$$\frac\Sigma4-\frac{\sum x_i^3}{2p}-R\rho=\rho^2,\qquad R\rho=\frac{x_ax_bx_c}{2p},\quad\rho^2=\frac{4S^2}{p^2}$$

である（$\sigma_ia_i^3=x_i^3$、$\Sigma=\sum x_i^2$）。両辺に $4p$ を掛けると、左辺は $p\sum x_i^2-2\sum x_i^3-2x_ax_bx_c=\sum_{\rm sym}x_i^2x_j-\sum x_i^3-2x_ax_bx_c$、右辺は $\dfrac{16S^2}{p}$ で、ヘロンの公式（定理 3.4［三角比と三角形の計量］）から $16S^2=p\,(-x_a+x_b+x_c)(x_a-x_b+x_c)(x_a+x_b-x_c)$ である。$\sigma=(1,1,1)$ ではこれは $16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ そのもの、$\sigma=(-1,1,1)$（$x_a=-a$）では $p=-a+b+c$ で 3 つの因子が $a+b+c$、$-(a+b-c)$、$-(a-b+c)$ になり、負号 2 つが打ち消し合って同じ積になる。他の $\sigma$ も同様。右辺は $(-x_a+x_b+x_c)(x_a-x_b+x_c)(x_a+x_b-x_c)=\sum_{\rm sym}x_i^2x_j-\sum x_i^3-2x_ax_bx_c$ と展開できて、両辺は一致する。

∎

ノート

反転による証明の考え方。 辺 $BC$ の中点 $M$ を中心に、半径 $|b-c|/2$ の反転を考える。内接円と $A$ 傍接円は $BC$ との接点が $M$ から等距離（$|b-c|/2$）にあるので、この反転で自分自身に移る。九点円は $M$ を通るので、直線に移る。この直線が 2 つの円の第 2 の共通接線（$BC$ を $\angle A$ の二等分線で折り返した直線）であることを確かめれば、反転が接する関係を保つことから、九点円が 2 つの円に接することが分かる。この方針は $b\ne c$ の頂点を選べるとき（正三角形以外）に使える。本章の証明はこの方針に依らない。

4. 円鎖

円が接する・接しないという関係を、内接と外接を区別して扱えるように、半径に符号をつけます。

この節のねらいは、反転で 2 つの円を同心円（中心が同じ円）に直すことです。同心円の間に並ぶ円の列なら、回転させて動かせるので、円鎖が閉じるかどうかが最初の円によらないことが見えやすくなります。半径に符号をつけるのは、外接と内接を $\Lambda=0$ という 1 つの式で表し、反転でその式がどう変わるかを追えるようにするためです。次の 2 つの補題は、そのための準備です。

定義 4.1（有向円）↗

中心 $\boldsymbol c$ と符号つきの半径 $\hat r\ne0$ の組 $\hat C=(\boldsymbol c,\hat r)$ を有向円といい、円 $\Gamma(\boldsymbol c,|\hat r|)$ を表す。2 つの有向円 $\hat C_1,\hat C_2$ に対し

$$\Lambda(\hat C_1,\hat C_2)=|\boldsymbol c_1-\boldsymbol c_2|^2-(\hat r_1+\hat r_2)^2$$

とおく。$\Lambda=0$ は $|\boldsymbol c_1-\boldsymbol c_2|=|\hat r_1+\hat r_2|$ で、$\hat r_1,\hat r_2$ が同符号なら外接、異符号なら内接（大きい円が囲む向き）を表す。原点が円周上にない（$p(\hat C)=|\boldsymbol c|^2-\hat r^2\ne0$）有向円に対し、$\hat\iota(\hat C)=\bigl(\boldsymbol c/p,\ \hat r/p\bigr)$ と定める。

補題 4.2（有向円の反転）✓

原点中心・半径 $1$ の反転 $\iota$ について、$p(\hat C)\ne0$ の有向円 $\hat C_1,\hat C_2$ に対し次が成り立つ。

1. $\hat\iota(\hat C)$ が表す円は、$\hat C$ が表す円の $\iota$ による像（$O$ を除く）である。
2. $\Lambda(\hat\iota\hat C_1,\hat\iota\hat C_2)=\dfrac{\Lambda(\hat C_1,\hat C_2)}{p(\hat C_1)\,p(\hat C_2)}$。
3. $p(\hat\iota\hat C)=\dfrac1{p(\hat C)}$ で、$\hat\iota(\hat\iota\hat C)=\hat C$。

証明（補題 4.2）

1: 円 $|\boldsymbol x-\boldsymbol c|^2=\hat r^2$ は $Z(1,-2\boldsymbol c,p)$ なので、定理 2.3 により像は $Z(p,-2\boldsymbol c,1)$、すなわち $|\boldsymbol y|^2-2\dfrac{\boldsymbol c}{p}\cdot\boldsymbol y+\dfrac1p=0$ で、中心 $\boldsymbol c/p$、半径の 2 乗 $\dfrac{|\boldsymbol c|^2}{p^2}-\dfrac1p=\dfrac{\hat r^2}{p^2}$ の円である。

2: $\boldsymbol c_i'=\boldsymbol c_i/p_i$、$\hat r_i'=\hat r_i/p_i$ として展開し、$|\boldsymbol c_i|^2-\hat r_i^2=p_i$ を使うと

$$|\boldsymbol c_1'-\boldsymbol c_2'|^2-(\hat r_1'+\hat r_2')^2=\frac{p_1}{p_1^2}+\frac{p_2}{p_2^2}-\frac{2(\boldsymbol c_1\cdot\boldsymbol c_2+\hat r_1\hat r_2)}{p_1p_2}=\frac{p_1+p_2-2\boldsymbol c_1\cdot\boldsymbol c_2-2\hat r_1\hat r_2}{p_1p_2}=\frac{\Lambda(\hat C_1,\hat C_2)}{p_1p_2}.$$

3: $p(\hat\iota\hat C)=\dfrac{|\boldsymbol c|^2-\hat r^2}{p^2}=\dfrac1p$。したがって $\hat\iota(\hat\iota\hat C)=\bigl(\dfrac{\boldsymbol c}p\cdot p,\ \dfrac{\hat r}p\cdot p\bigr)=\hat C$。

∎

補題 4.3（円を同心円に移す反転）✓

円 $\Gamma_1(O_1,r_1)$、$\Gamma_2(O_2,r_2)$ が $d+r_2<r_1$（$d=|O_1O_2|$。$\Gamma_2$ が $\Gamma_1$ の内部にある）を満たすとする。$\Gamma_2$ の内部の点 $P_0$ で、$P_0$ を中心とする反転が $\Gamma_1,\Gamma_2$ を同心円に移すものが存在する。

証明（補題 4.3）

$d=0$ なら $P_0=O_1$ が使える（同心円は中心での反転で同心円に移る）。$d>0$ のとき、$O_1=(0,0)$、$O_2=(d,0)$ とし、$P_0=(p,0)$ を探す。$P_0$ を原点に平行移動すると、$\Gamma_i$ は有向円 $(\boldsymbol c_i-P_0,\hat r_i)$ で、補題 4.2 の 1 により像の中心は $\dfrac{\boldsymbol c_i-P_0}{\pi_i}$（$\pi_i=|\boldsymbol c_i-P_0|^2-r_i^2$ は $P_0$ の方べき）である。2 つの像が同心円であるための条件は $\dfrac{(-p,0)}{\pi_1}=\dfrac{(d-p,0)}{\pi_2}$、$\pi_1=p^2-r_1^2$、$\pi_2=(p-d)^2-r_2^2$ で、整理すると

$$f(p)=dp^2+(r_2^2-r_1^2-d^2)p+r_1^2d=0$$

である。$f(d-r_2)=r_2\bigl(r_1^2-(d-r_2)^2\bigr)>0$、$f(d+r_2)=-r_2\bigl(r_1^2-(d+r_2)^2\bigr)<0$（仮定 $r_1>d+r_2$ による）なので、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）により $d-r_2<p<d+r_2$ に解 $p_0$ がある。この $P_0=(p_0,0)$ は $\Gamma_2$ の内部の点で、$\pi_1,\pi_2<0$（$\Gamma_1,\Gamma_2$ の内部にある）なので反転が定義できる。

∎

2 つの円（有向円）を $\hat\Gamma_1=(O_1,-r_1)$（囲む円は負）、$\hat\Gamma_2=(O_2,r_2)$ とします。$\Gamma_1$ に内接し $\Gamma_2$ に外接する円は、有向円 $(\boldsymbol c,\rho)$（$\rho>0$）で $\Lambda(\cdot,\hat\Gamma_1)=\Lambda(\cdot,\hat\Gamma_2)=0$ を満たすものです。その全体を $\mathcal{T}$ と書きます。

定理 4.4（Steiner の円鎖）✓

$\Gamma_2$ が $\Gamma_1$ の内部にある（$d+r_2<r_1$）とする。$\mathcal{T}$ の相異なる $n$ 個の円 $C_1,\dots,C_n$ で、$C_i$ と $C_{i+1}$ が外接し（$i=1,\dots,n-1$）、$C_n$ と $C_1$ も外接するもの（Steiner の円鎖）が 1 つ存在するならば、$\mathcal{T}$ の任意の円 $C$ を出発点にして、同じ長さ $n$ の円鎖 $C=C_1',C_2',\dots,C_n'$ が存在する。すなわち、円鎖が閉じるかどうかは、最初の円の選び方によらない。

証明（定理 4.4）

補題 4.3 の $P_0$ を原点に取り、$\hat\iota$（定義 4.1）を考える。$\hat\iota\hat\Gamma_i=(Q,s_i)$ は同じ中心 $Q$ をもち、$s_1\ne s_2$ である（$\hat\iota$ は単射）。$\mathcal{T}$ の円 $C$ は $\Gamma_2$ に外接し $\Gamma_2$ の内部に入らないので、$\Gamma_2$ の内部の点 $P_0$ を通らず、$p(\hat C)\ne0$ である。$\hat\iota\hat C=(\boldsymbol w,\kappa)$ とすると、補題 4.2 の 2 から $\Lambda((\boldsymbol w,\kappa),(Q,s_i))=0$、すなわち $|\boldsymbol w-Q|^2=(\kappa+s_i)^2$（$i=1,2$）。$s_1\ne s_2$ より $\kappa+s_1=-(\kappa+s_2)$ で、

$$\kappa=\kappa_0:=-\frac{s_1+s_2}2,\qquad|\boldsymbol w-Q|=m:=\frac{|s_1-s_2|}2$$

となる。すなわち、$\mathcal{T}$ の円の像は、符号つき半径がすべて $\kappa_0$ で、中心が $Q$ のまわりの半径 $m$ の円周 $\mathcal{C}$ 上にある有向円である。

円鎖 $C_1,\dots,C_n$ の像を $K_i=(\boldsymbol w_i,\kappa_0)$ とおくと、$\Lambda(K_i,K_{i+1})=0$ から $|\boldsymbol w_i-\boldsymbol w_{i+1}|=2|\kappa_0|$ で、$K_i$ は相異なる。任意の $C\in\mathcal{T}$ の像の中心 $\boldsymbol w\in\mathcal{C}$ に対し、$Q$ のまわりの回転 $\varphi$ で $\varphi(\boldsymbol w_1)=\boldsymbol w$ となるものがある。$K_i'=(\varphi(\boldsymbol w_i),\kappa_0)$ とおくと、回転は距離を保つので $\Lambda(K_i',K_{i+1}')=0$、$\Lambda(K_n',K_1')=0$、$K_i'$ は相異なり、$\varphi(\boldsymbol w_i)\in\mathcal{C}$ なので $\Lambda(K_i',(Q,s_j))=0$ も成り立つ。

$p(K_i')\ne0$ を示す。$p(K_i')=0$ なら $K_i'$ の円周は原点 $P_0$ を通り、$\iota$ による像（$P_0$ を除く）は直線 $\ell$ で（定理 2.3 の 3）、$K_i'$ は 2 つの同心円 $(Q,s_j)$ とそれぞれ 1 点だけを共有するので（中心間の距離 $m>0$ が半径の和か差に等しい。命題 6.1［円の幾何］。その点は $P_0$ ではない。$P_0$ はそれらの円周上にない）、$\ell$ は $\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の両方にちょうど 1 点で交わる、すなわち両方の接線である（定義 4.2［円の幾何］）。$\Gamma_2$ の接線は $\Gamma_2$ 上の点 $T$（$|T-O_1|\le d+r_2<r_1$ なので $\Gamma_1$ の内部の点）を通るので、$O_1$ と $\ell$ の距離は $|T-O_1|$ 以下、したがって $r_1$ より小さく、$\ell$ は $\Gamma_1$ と 2 点で交わり（補題 4.1［円の幾何］）、接線ではない。矛盾である。$\varphi$ を角 $\theta$ の回転とし、$0$ から $\theta$ までの角 $t$ の回転で $K_i$ を動かした有向円 $K_i(t)$ を考えると、上の議論は $K_i(t)$ にもそのまま当てはまるので $p(K_i(t))\ne0$ である。$p(K_i(t))$ は $t$ の連続関数なので、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）から符号は一定で、$\varphi=\mathrm{id}$ のときの符号、すなわち $\kappa_0$ の符号（$K_i=\hat\iota C_i$ の符号つき半径 $\kappa_0=\rho_i/p(C_i)$ で $\rho_i>0$）と等しい。よって $C_i':=\hat\iota K_i'$ の符号つき半径 $\kappa_0/p(K_i')$ は正である。補題 4.2 の 2・3 から、$C_i'\in\mathcal{T}$、$C_i'$ は相異なり、$C_i'$ と $C_{i+1}'$（および $C_n'$ と $C_1'$）は外接し、$C_1'=\hat\iota K_1'$ は $\hat\iota\hat C=(\boldsymbol w,\kappa_0)$ の像で $C$ に等しい。

∎

定理 4.5（Pappus の円鎖）✓

$A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(t,0)$（$0<t<1$）とし、$\Gamma_0,\Gamma_1,C_0$ をそれぞれ $AB,AC,CB$ を直径とする円とする。$n\ge1$ について、$C_n$ を開いた上半平面にあり $A$ を通らず、$\Gamma_0$ に内接、$\Gamma_1$ に外接、$C_{n-1}$ に外接する円で、$n\ge2$ のとき $C_{n-2}$ と異なるものとする（このような円鎖）。$C_n$ の半径を $\rho_n$ とすると、$C_n$ の中心の $y$ 座標は $2n\rho_n$（$C_n$ の直径の $n$ 倍）である。

証明（定理 4.5）

$A$ 中心・半径 $1$ の反転 $\iota$ を使う。$\Gamma_0$ は $|\boldsymbol x|^2-x_1=0$、$\Gamma_1$ は $|\boldsymbol x|^2-tx_1=0$ なので、定理 2.3 により像は直線 $L_0:y_1=1$、$L_1:y_1=\tfrac1t$ である。$C_n$（$n\ge0$。$C_0$ も $\Gamma_0$ に $B$ で内接し、$\Gamma_1$ に $C$ で外接する）は $A$ を通らないので、像 $K_n$ は円（同定理の 4）で、$\Gamma_0,\Gamma_1$ とそれぞれちょうど 1 点を共有する（接する 2 円の共有点は 1 つ。命題 6.1［円の幾何］）ので、$K_n$ は $L_0,L_1$ のそれぞれとちょうど 1 点を共有する。中心から 2 直線までの距離が半径に等しい（補題 4.1［円の幾何］）ので、中心の $x$ 座標は $m_x=\dfrac12\bigl(1+\tfrac1t\bigr)$、半径は $\rho_K=\dfrac12\bigl(\tfrac1t-1\bigr)$ で、すべての $n$ で同じである。$C_0$ は $x$ 軸に関して対称なので、$K_0$ の中心は $(m_x,0)$ にある。同じ半径の相異なる 2 円 $K_{n-1},K_n$ が 1 点で接するとき、中心間の距離は $2\rho_K$（命題 6.1［円の幾何］。半径の差は $0$）なので、中心の $y$ 座標は $y_n'=y_{n-1}'\pm2\rho_K$。$K_n\ne K_{n-2}$ より符号は同じで、$\iota$ は開いた上半平面を保つ（$(y_1,y_2)\mapsto\dfrac{(y_1,y_2)}{|\boldsymbol y|^2}$）ので $K_1$ は上半平面にあり、符号は $+$、$y_n'=2n\rho_K$ である。

$C_n=\iota(K_n)$ で、$K_n$ は $x_1\ge m_x-\rho_K=1>0$ の領域にあるので原点の外にあり、$p=|\boldsymbol w|^2-\rho_K^2>0$（$\boldsymbol w=(m_x,2n\rho_K)$）。補題 4.2 の 1 により $C_n$ の中心は $\boldsymbol w/p$、半径は $\rho_n=\rho_K/p$ なので、中心の $y$ 座標は $2n\rho_K/p=2n\rho_n$ である。

∎

5. Descartes の円定理とアルベロスの双子円

定理 5.1（Descartes の円定理）✓

4 つの円が互いに接しているとする。中心を $O_1,\dots,O_4$、符号つき半径を $\hat r_1,\dots,\hat r_4$（互いに外接する円は正、他の 3 円を内部に囲む円は負）とし、$|O_i-O_j|^2=(\hat r_i+\hat r_j)^2$（$i\ne j$）が成り立つとする。曲率 $k_i=1/\hat r_i$ について

$$(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$$

である。

証明（定理 5.1）

$\boldsymbol u_i=O_i-O_4$（$i=1,2,3$）、$x_i=\hat r_4+\hat r_i$ とおく。$|\boldsymbol u_i|^2=x_i^2$、$|\boldsymbol u_i-\boldsymbol u_j|^2=(\hat r_i+\hat r_j)^2$ なので、グラム行列 $G=(\boldsymbol u_i\cdot\boldsymbol u_j)$ の成分は、定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 3 から $G_{ij}=\tfrac12\bigl(x_i^2+x_j^2-(\hat r_i+\hat r_j)^2\bigr)=x_ix_j-2\hat r_i\hat r_j$（$i\ne j$）、$G_{ii}=x_i^2$ である。すなわち $G=\boldsymbol x\boldsymbol x^{\mathsf T}-2\hat{\boldsymbol r}\hat{\boldsymbol r}^{\mathsf T}+2D$、$D=\operatorname{diag}(\hat r_1^2,\hat r_2^2,\hat r_3^2)$。$\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_3$ は平面の 3 本のベクトルなので 1 次従属で（$\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ が 1 次独立なら 命題 3.1［平面ベクトルと座標］ により $\boldsymbol u_3$ はその 1 次結合）、すべては $0$ でない $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ で $\sum_j\lambda_j\boldsymbol u_j=\boldsymbol 0$ となる。すると $\sum_j\lambda_jG_{ij}=\boldsymbol u_i\cdot\sum_j\lambda_j\boldsymbol u_j=0$ で $G$ の列は 1 次従属なので、$\det G=0$ である（補題 7.2［行列式とその性質］）。

$U=(\boldsymbol x\ \hat{\boldsymbol r})$（$3\times2$）、$C=\operatorname{diag}(1,-2)$ とおくと $G=2D+UCU^{\mathsf T}$ で、$\det G=\det(2D)\det\bigl(I_2+C\,U^{\mathsf T}(2D)^{-1}U\bigr)$ である（$(2D)^{-1}$ を左から掛けてから、Sylvester の行列式恒等式 $\det(I_3+XY)=\det(I_2+YX)$（系 4.5［行列の固有値評価と不等式］）を $X=(2D)^{-1}U$、$Y=CU^{\mathsf T}$ に使う）。$K_1=\sum_{i\le3}k_i$、$K_2=\sum_{i\le3}k_i^2$ とすると、$x_i/\hat r_i=1+\hat r_4k_i$ から

$$M=U^{\mathsf T}(2D)^{-1}U=\frac12\begin{pmatrix}3+2\hat r_4K_1+\hat r_4^2K_2&3+\hat r_4K_1\\3+\hat r_4K_1&3\end{pmatrix},$$

$\det(I+CM)=(1+M_{11})(1-2M_{22})+2M_{12}^2=-2(1+M_{11})+2M_{12}^2=-\dfrac12+\hat r_4K_1+\dfrac{\hat r_4^2}{2}(K_1^2-2K_2)$。これが $0$ なので、$2k_4^2$ を掛けて $-k_4^2+2k_4K_1+K_1^2-2K_2=0$、すなわち $(K_1+k_4)^2=2k_4^2+2K_2$ を得る。

∎

例 5.2（曲率 −1, 2, 2, 3）

半径 $1$ の円の内部に、半径 $\tfrac12$ の 2 円が直径の両端で接しているとき（曲率 $-1,2,2$）、3 つの円に接する円の曲率 $k$ は $(3+k)^2=2(1+4+4+k^2)$、すなわち $9+6k+k^2=18+2k^2$ から $k^2-6k+9=0$、$k=3$（重解）である。半径 $\tfrac13$ の円が、上下に 1 つずつ、計 2 つできる。

定理 5.3（アルベロスの双子円）✓

直線上の 3 点 $A,C,B$（この順）について $|AC|=2a$、$|CB|=2b$ とし、$AB$、$AC$、$CB$ を直径とする 3 つの半円がつくる図形（アルベロス）を考える。$C$ で $AB$ に立てた垂線に接し、$AC$ 上の半円に外接し、$AB$ 上の半円に内接する円（$A$ 側の円）と、同じ垂線に接し、$CB$ 上の半円に外接し、$AB$ 上の半円に内接する円（$B$ 側の円）の半径は、ともに $\dfrac{ab}{a+b}$ である。

証明（定理 5.3）

$C$ を原点、直線 $AB$ を $x$ 軸にとると、$AB$ 上の円は中心 $(b-a,0)$、半径 $a+b$、$AC$ 上の円は中心 $(-a,0)$、半径 $a$ である。$A$ 側の円は中心 $(-\rho,y)$、半径 $\rho$（垂線 $x=0$ に接する）と書ける。$AC$ 上の円に外接する条件 $(a-\rho)^2+y^2=(a+\rho)^2$ から $y^2=4a\rho$。$AB$ 上の円に内接する条件 $(\rho+b-a)^2+y^2=(a+b-\rho)^2$ から $y^2=(a+b-\rho)^2-(\rho+b-a)^2=4b(a-\rho)$。$4a\rho=4b(a-\rho)$ から $\rho=\dfrac{ab}{a+b}$。$B$ 側の円は、$a$ と $b$ の役割を入れ替えた（$x$ 軸の向きを反転した）同じ計算で、同じ値 $\dfrac{ba}{b+a}$ を得る。

∎

6. Monge の定理

定義 6.1（相似の中心）↗

中心 $O_i$、半径 $r_i>0$ の円 $\Gamma_i$ と符号 $\varepsilon_i\in\{\pm1\}$（$i=1,2,3$）に対し、$\varepsilon_ir_i\ne\varepsilon_jr_j$ のとき

$$E_{ij}=\frac{\varepsilon_jr_j\,\boldsymbol o_i-\varepsilon_ir_i\,\boldsymbol o_j}{\varepsilon_jr_j-\varepsilon_ir_i}$$

とおく。$\varepsilon_i=\varepsilon_j$ のとき $E_{ij}$ は直線 $O_iO_j$ 上で $|E_{ij}O_i|:|E_{ij}O_j|=r_i:r_j$ を満たす外側の点（外相似の中心）、$\varepsilon_i\ne\varepsilon_j$ のときは内側の点（内相似の中心）である。

係数の和が $\dfrac{\varepsilon_jr_j-\varepsilon_ir_i}{\varepsilon_jr_j-\varepsilon_ir_i}=1$ なので、$E_{ij}$ は $O_i,O_j$ の 1 次結合（アフィン結合）で、$\overrightarrow{O_iE_{ij}}=\dfrac{\varepsilon_ir_i}{\varepsilon_jr_j-\varepsilon_ir_i}\overrightarrow{O_jO_i}$、$\overrightarrow{O_jE_{ij}}=\dfrac{\varepsilon_jr_j}{\varepsilon_jr_j-\varepsilon_ir_i}\overrightarrow{O_jO_i}$ から長さの比が $r_i:r_j$ と分かります。2 つの係数は $\varepsilon_i=\varepsilon_j$ なら同符号（$E_{ij}$ は $O_i,O_j$ から同じ向きにあり、線分 $O_iO_j$ の外側）、$\varepsilon_i\ne\varepsilon_j$ なら異符号（線分の内側）です。

次の定理の証明のねらいは、$E_{ij}$ がすべて同じ直線上にあることを、1 つの関数の零点として見ることです。各円の中心に、半径（符号つき）の値を対応させる 1 次式 $f$ を作ると、$E_{ij}$ はちょうど $f=0$ となる点になり、$f=0$ は直線なので 3 点が共線になります。

定理 6.2（Monge の定理）✓

3 つの円について、$E_{12},E_{23},E_{31}$ がすべて定義されるならば、この 3 点は一直線上にある。とくに $\varepsilon_i$ をすべて $+$ にとれば、3 つの外相似の中心は共線で、$\varepsilon$ のうち 1 つだけ符号を変えれば、1 つの外相似の中心と 2 つの内相似の中心が共線である。

証明（定理 6.2）

3 つの中心が一直線上にあれば、$E_{ij}$ はすべてその直線上にあるので共線である。そうでないとき、$\boldsymbol o_2-\boldsymbol o_1$ と $\boldsymbol o_3-\boldsymbol o_1$ は 1 次独立で、$f(\boldsymbol o_i)=\varepsilon_ir_i$（$i=1,2,3$）を満たすアフィン関数 $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol\lambda\cdot\boldsymbol x+\mu$ がただ 1 つ存在する（命題 3.1［平面ベクトルと座標］）。$E_{ij}$ は $\boldsymbol o_i,\boldsymbol o_j$ の係数の和が $1$ の結合なので、

$$f(E_{ij})=\frac{\varepsilon_jr_j\cdot\varepsilon_ir_i-\varepsilon_ir_i\cdot\varepsilon_jr_j}{\varepsilon_jr_j-\varepsilon_ir_i}=0$$

である。$f$ は定数でない（$\varepsilon_ir_i$ が互いに異なる点があり、仮定により $E_{ij}$ が定義されている）ので、$\{f=0\}$ は直線で、3 点 $E_{12},E_{23},E_{31}$ はその上にある。

∎

Monge の定理の例（演習の数値）。中心 (0,0)、(4,0)、(0,3)、半径 1、2、3 の 3 円と、外相似の中心 E12=(-4,0)、E31=(0,-3/2)、E23=(12,-6)。3 点は 1 本の直線（点線）上にある

7. 大学ではどこへ続くか

• 複素解析の 1 次分数変換（等角写像）。反転 $\boldsymbol x\mapsto k^2\boldsymbol x/|\boldsymbol x|^2$ は、複素数では $z\mapsto k^2/\bar z$ です。1 次分数変換は円・直線を円・直線に移し、角を保つ変換で、反転と等長変換の合成として書けます。定理 2.3 と 命題 2.4 は、その初等的な形です。
• 双曲幾何。反転で保たれる「円と直線の族」は、上半平面モデルの双曲幾何の直線（半円と垂線）に対応し、Poincaré の円板モデルの等長変換が反転の合成になります。
• 代数幾何・Lie 球幾何。定義 4.1 の有向円の組 $(\boldsymbol c,\hat r)$ と接触の関係 $\Lambda=0$ は、Lie 球幾何（円を $\mathbb{R}^{3,1}$ の点として扱う）の 2 次元版です。Descartes の円定理は、4 つの円がつくる行列 $G$ の 2 次形式の等式として、同じ枠組みで一般化されます。

8. 演習

演習 8.1易

原点中心・半径 $2$ の反転で、直線 $x=1$ と円 $|\boldsymbol x-(1,0)|=1$ はどんな図形に移るか。

解答

直線 $x=1$ は $Z(0,(1,0),-1)$ で、定理 2.3 により像は $Z(-1,(4,0),0)$、すなわち $-|\boldsymbol y|^2+4y_1=0$、$|\boldsymbol y-(2,0)|=2$ の円（原点を通る円。原点は除く）。円 $|\boldsymbol x-(1,0)|=1$ は $|\boldsymbol x|^2-2x_1=0$、つまり $Z(1,(-2,0),0)$（原点を通る円）で、像は $Z(0,(-8,0),16)$、すなわち直線 $y_1=2$ である。

演習 8.2標準

半径 $1$ の 3 つの円が互いに外接している。3 円すべてに接する円の半径を、Descartes の円定理（定理 5.1）で求めよ。

解答

曲率は $1,1,1,k$。$(3+k)^2=2(3+k^2)$ から $k^2-6k-3=0$、$k=3\pm2\sqrt3$。$k=3+2\sqrt3>0$ は内側の小さな円（半径 $\dfrac1{3+2\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3-3}{3}$）、$k=3-2\sqrt3<0$ は 3 円を内部に囲む外側の円（半径 $\dfrac1{2\sqrt3-3}=\dfrac{2\sqrt3+3}3$）である。

演習 8.3標準

中心 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,3)$ で、半径が順に $1,2,3$ の 3 円の、外相似の中心 $E_{12},E_{23},E_{31}$ を求め、共線であることを確かめよ。

解答

$\varepsilon_i=+1$ として 定義 6.1 の式を使う。$E_{12}=\dfrac{2\boldsymbol o_1-1\cdot\boldsymbol o_2}{2-1}=(-4,0)$。$E_{23}=\dfrac{3\boldsymbol o_2-2\boldsymbol o_3}{3-2}=(12,-6)$。$E_{31}=\dfrac{1\cdot\boldsymbol o_3-3\boldsymbol o_1}{1-3}=\dfrac{(0,3)}{-2}=(0,-\tfrac32)$。$E_{12}$ から $E_{31}$ へは $(4,-\tfrac32)$、$E_{12}$ から $E_{23}$ へは $(16,-6)=4\cdot(4,-\tfrac32)$ で平行なので、3 点は一直線上にある。

参考文献

• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, 1967 — 第 5 章（反転幾何入門）。Feuerbach の定理、Steiner の円鎖、Pappus の円鎖、アルベロスの扱いがある。
• Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 — 反転・相似の中心・Feuerbach の定理。
• Ronald Graham, Jeffrey Lagarias, Colin Mallows, Allan Wilks, Catherine Yan, “Apollonian circle packings: geometry and group theory I”, Discrete & Computational Geometry 34 (2005) — Descartes の円定理とその一般化。
• Marcel Berger, Geometry II, Springer, 1987 — 反転と円束、Lie 球幾何。