オイラーの公式
任意の実数 に対し
が成り立つ。とくに であり、 とすれば を得る。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 53 件、定義なども含めて 68 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 余弦・正弦（べき級数による定義）定義 6.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法 この先をたどる →
項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束 この先をたどる →
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 共役複素数と絶対値定義 3.1・複素数と複素平面
cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定 この先をたどる →
- 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定 この先をたどる →
- 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
- 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
- cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- RoPE の内積は相対位置だけで決まる✓定理 6.3・埋め込みと位置符号化
- 極形式の存在と偏角の一意性✓補題 4.4・複素数と複素平面
- ド・モアブルの定理✓定理 5.1・複素数と複素平面
- 複素数の n 乗根✓定理 5.4・複素数と複素平面
- 複素数の積は回転と拡大✓命題 2.2・複素数平面と作図