ド・モアブルの定理

定理 5.1（「複素数と複素平面」§5）・ ✓公理まで証明済み

$z_1 = r_1 e^{i\theta_1},\ z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ （ $r_1, r_2 > 0$ 、 $\theta_1,\theta_2 \in \mathbb{R}$ ）とする。

$z_1 z_2 = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ 、および $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ 。すなわち複素数の積では絶対値は掛け算され、偏角は足し算される。
$r > 0$ 、 $\theta \in \mathbb{R}$ とするとき、任意の整数 $n$ に対し $\bigl(re^{i\theta}\bigr)^n = r^n e^{in\theta}$ 。

とくに 2 で $r = 1$ とし三角関数で書き直すと、任意の実数 $\theta$ と任意の整数 $n$ に対し $(\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 54 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
  - 上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
  - 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定
    一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定
    無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
- 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
    三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面（上で展開済み）
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
    級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面
- 余弦・正弦（べき級数による定義）定義 6.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束この先をたどる →
    単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 共役複素数と絶対値定義 3.1・複素数と複素平面
- cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面（上で展開済み）
    exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

複素数の n 乗根✓定理 5.4・複素数と複素平面
複素数で導く三角関数の公式✓命題 5.1・複素数平面と作図

ド・モアブルの定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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