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複素数で導く三角関数の公式

命題 5.1（「複素数平面と作図」§5） ・ ✓公理まで証明済み

  1. （加法定理）cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta、sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta。
  2. （多倍角）n≥1n\ge1 について
cos⁡nθ=∑j=0⌊n/2⌋(−1)j(n2j)cos⁡n−2jθ sin⁡2jθ,sin⁡nθ=∑j=0⌊(n−1)/2⌋(−1)j(n2j+1)cos⁡n−2j−1θ sin⁡2j+1θ.\cos n\theta=\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^j\binom n{2j}\cos^{n-2j}\theta\,\sin^{2j}\theta,\qquad\sin n\theta=\sum_{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(-1)^j\binom n{2j+1}\cos^{n-2j-1}\theta\,\sin^{2j+1}\theta.

たとえば cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta。 3. （等差の和）sin⁡θ2≠0\sin\dfrac\theta2\ne0 のとき

∑k=0n−1cos⁡kθ=sin⁡nθ2cos⁡(n−1)θ2sin⁡θ2,∑k=0n−1sin⁡kθ=sin⁡nθ2sin⁡(n−1)θ2sin⁡θ2.\sum_{k=0}^{n-1}\cos k\theta=\frac{\sin\frac{n\theta}2\cos\frac{(n-1)\theta}2}{\sin\frac\theta2},\qquad\sum_{k=0}^{n-1}\sin k\theta=\frac{\sin\frac{n\theta}2\sin\frac{(n-1)\theta}2}{\sin\frac\theta2}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 57 件、定義なども含めて 73 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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