因数分解の公式

$n$ を自然数、$a,b,c$ を実数とする。証明は可換環の計算規則しか使わないので、$a,b,c$ が複素数や多項式（文字式）であっても同じ等式が成り立つ。

1. $a^n-b^n=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^{\,n-1-k}b^{k}$。
2. $n$ が奇数のとき、$a^n+b^n=(a+b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{\,n-1-k}b^{k}$。
3. $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\dfrac12(a+b+c)\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)$。
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$、$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。