3 次方程式の判別式と実数解の個数

命題 7.2（「多項式の割り算と高次方程式」§7）・ ✓公理まで証明済み

$p,q$ を実数、 $\alpha,\beta,\gamma$ を $x^3+px+q=0$ の 3 解（定理 7.1 の因数分解による。重複を許す）とし、 $\Delta=-4p^3-27q^2$ とする。このとき $\bigl((\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\bigr)^2=\Delta$ であり、

$\Delta>0$ ならば異なる 3 つの実数解、
$\Delta=0$ ならば実数解のみで少なくとも 2 つは等しい、
$\Delta<0$ ならば 1 つの実数解と、互いに共役な 2 つの虚数解

をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 60 件、定義なども含めて 75 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Cardano の公式✓定理 7.1・多項式の割り算と高次方程式
- 複素数の n 乗根✓定理 5.4・複素数と複素平面
  - ド・モアブルの定理✓定理 5.1・複素数と複素平面
    指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
    オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面
    余弦・正弦（べき級数による定義）定義 6.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    共役複素数と絶対値定義 3.1・複素数と複素平面
    cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 極形式の存在と偏角の一意性✓補題 4.4・複素数と複素平面
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
    三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
    cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
    指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
    オイラーの公式✓定理 4.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
因数分解の公式✓命題 5.1・数と式
共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面
- 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

3 次方程式の判別式と実数解の個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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