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Newton の恒等式

定理 5.3（「多項式の割り算と高次方程式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$x_1,\dots,x_n$ の基本対称式を $e_k$ （ $k>n$ では $e_k=0$ ）、べき和を $p_m=\sum_ix_i^m$ とする。すべての $k\ge1$ について

\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^j\,e_j\,p_{k-j}+(-1)^k\,k\,e_k=0.

たとえば $p_1=e_1$ 、 $p_2=e_1p_1-2e_2$ 、 $p_3=e_1p_2-e_2p_1+3e_3$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

解と係数の関係✓定理 4.3・多項式の割り算と高次方程式
- 代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
  - リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 剰余の定理・因数定理✓定理 2.3・多項式の割り算と高次方程式
  - 多項式の除法の原理✓定理 2.2・多項式の割り算と高次方程式
    完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術この先をたどる →
    多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  - 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式（上で展開済み）
- 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
因数分解の公式✓命題 5.1・数と式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Weierstrass の準備定理✓定理 8.4・複素多様体と正則写像

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