トートロジー直線束 𝒪(−1) と 𝒪(k)

整数 $k$ に対し、被覆 $\{U_j\}$ の上の正則コサイクル

が定める $\mathbb{P}^n$ 上の正則直線束（補題 2.2 の 1）を $\mathcal{O}(k)$ と書く。$\mathcal{O}(0)=\mathcal{O}$ は自明束、$\mathcal{O}(k)\otimes\mathcal{O}(l)=\mathcal{O}(k+l)$、$\mathcal{O}(k)^{*}=\mathcal{O}(-k)$ である。$\mathcal{O}(-1)$ をトートロジー直線束、$\mathcal{O}(1)$ を超平面束という。