Kodaira の埋め込み定理

定理 6.4（「Kodaira の消滅定理と埋め込み定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクト複素多様体、 $L$ を正の直線束とする。整数 $k_1$ があって、 $k\ge k_1$ なら $L^k$ は非常に豊富である。すなわち $L^k$ は基点をもたず、 $\varphi_{L^k}\colon X\to\mathbb{P}^{N_k}$ は $X$ から $\mathbb{P}^{N_k}$ の閉な複素部分多様体への双正則写像である。

したがって、コンパクト複素多様体 $X$ について次は同値である。

$X$ は射影的である。
$X$ は Hodge 多様体である。
$X$ は正の直線束をもつ。

また、正則直線束 $L$ が正であることと豊富であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 425 件、定義なども含めて 489 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

爆発の上の正値性✓補題 5.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 1 点の爆発✓定理 5.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理（上で展開済み）
- 𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量✓定理 5.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - Hartogs の延長定理✓定理 7.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- 第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
1 点の爆発✓定理 5.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- 因子と直線束の対応✓定理 6.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子（上で展開済み）
  - 解析的超曲面の局所的な構造✓系 9.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- トートロジー直線束 𝒪(−1) と 𝒪(k)定義 5.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - コサイクルからの再構成✓命題 2.2・ファイバー束・主束と接続
Kodaira–Nakano の消滅定理✓定理 4.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- 型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体この先をたどる →
- Bochner–Kodaira–Nakano の恒等式✓定理 3.4・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理この先をたどる →
- Dolbeault の定理✓定理 5.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- 層コホモロジーの有限性と Serre 双対✓系 5.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
非特異な超曲面への制限の完全列✓補題 4.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- 随伴公式✓定理 6.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- Dolbeault の定理✓定理 5.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 細層は非輪状✓補題 3.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
爆発の上の切断と、点での値・微分✓補題 5.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- Hartogs の延長定理✓定理 7.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- コンパクト複素多様体上の正則関数は定数✓定理 5.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- 1 点の爆発✓定理 5.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理（上で展開済み）
- 𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量✓定理 5.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子（上で展開済み）
切断が定める写像の性質✓補題 6.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- トートロジー直線束 𝒪(−1) と 𝒪(k)定義 5.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
単射なはめ込みは閉埋め込み✓補題 6.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
- 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- 複素部分多様体・解析的部分集合・解析的超曲面定義 5.1・複素多様体と正則写像
正の直線束と Kähler 類✓命題 2.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
- ∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 指数完全列の連結準同型と第一 Chern 類✓定理 7.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 整係数の第一 Chern 類・Néron–Severi 群・Pic⁰定義 7.3・層コホモロジーと直線束
- Lefschetz の (1,1) 定理✓定理 8.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
部分多様体と積✓命題 4.2・Kähler 多様体
- (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- Fubini–Study 計量✓命題 4.1・Kähler 多様体この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

コンパクト Riemann 面は射影的✓系 7.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
複素トーラスが射影的になる条件✓系 7.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

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