∂∂̄ 補題

補題 5.2（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクト Kähler 多様体、 $\alpha\in A^{p,q}(X)$ を $d$ 閉な形式とする。次は同値である。

$\alpha$ は $d$ 完全である。
$\alpha$ は $\partial$ 完全である。
$\alpha$ は $\bar\partial$ 完全である。
$\alpha=\partial\bar\partial\gamma$ となる $\gamma\in A^{p-1,q-1}(X)$ がある。
$\alpha$ は $\mathcal{H}^{p,q}(X)$ に $L^2$ 直交する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 261 件、定義なども含めて 297 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - (0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
    内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体（上で展開済み）
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間この先をたどる →
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論この先をたどる →
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体
- 外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
- 形式的随伴の性質✓補題 6.2・Kähler 多様体
  - 型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体（上で展開済み）
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
  - J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
  - 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体
  - 外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
  - J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Kähler 多様体の Bott–Chern コホモロジー✓系 5.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Calabi の一意性定理✓命題 7.4・Kähler 多様体
正の直線束と Kähler 類✓命題 2.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

∂∂̄ 補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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