∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和

補題 3.3（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクト Hermite 多様体、 $E$ を Hermite 正則ベクトル束、 $p$ を整数とし、 $S=\Lambda^{p,\bullet}\otimes E=\bigoplus_q\Lambda^{p,q}\otimes E$ に $c(v)\otimes1$ を作用させる（これも $c(v)$ と書く）。

$S$ は、計量と両立する適当な接続により定義 5.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］の意味の Clifford 加群になる。
1 のどの接続についても、その Dirac 型作用素を $D$ とすると、滑らかな束写像 $A\colon S\to S$ があって、 $\Gamma(S)=\bigoplus_qA^{p,q}(E)$ の上で

\sqrt2\bigl(\bar\partial_E+\bar\partial_E^*\bigr)=D+A,\qquad A^*=A

が成り立つ。 3. $g$ が Kähler 計量のとき、 $S$ の接続として Levi-Civita 接続と $E$ の Chern 接続のテンソル積を取れば、 $A=0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 127 件、定義なども含めて 150 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

(0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
  - J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
  - 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
    正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子（上で展開済み）
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
  - 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
  - シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
  - Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解

∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件