J 不変な内積と正の (1,1) 形式

補題 2.1（「Kähler 多様体」§2）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を複素構造 $J$ をもつ $2n$ 次元実ベクトル空間とする。

実の 2 形式 $\omega\in\Lambda^2V^{*}$ が $(1,1)$ 型であることと、 $\omega(Ju,Jv)=\omega(u,v)$ がすべての $u,v$ で成り立つことは同値である。
$J$ で不変な内積 $g$ （ $g(Ju,Jv)=g(u,v)$ を満たす正定値対称双線型形式）と、正の実 $(1,1)$ 形式 $\omega$ （ $v\ne0$ ならば $\omega(v,Jv)>0$ ）は、 $\omega(u,v)=g(Ju,v)$ 、 $g(u,v)=\omega(u,Jv)$ により一対一に対応する。
このとき $h=g-i\omega$ は $(V,J)$ 上の正定値 Hermite 内積（第 1 変数について複素線型）で、 $(V,J)$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ で $h(e_j,e_k)=\delta_{jk}$ となるもの（ユニタリ基底）がある。 $(e_1,Je_1,\dots,e_n,Je_n)$ は $g$ の正規直交基底で、その双対基底を $(x^1,y^1,\dots,x^n,y^n)$ 、 $\zeta^j=x^j+iy^j\in V^{*1,0}$ とすると

g=\sum_j\bigl(x^j\otimes x^j+y^j\otimes y^j\bigr),\qquad\omega=\sum_jx^j\wedge y^j=\frac i2\sum_j\zeta^j\wedge\bar\zeta^j,\qquad\frac{\omega^n}{n!}=x^1\wedge y^1\wedge\dots\wedge x^n\wedge y^n

である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。