Wirtinger の定理とその帰結

定理 4.3（「Kähler 多様体」§4）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を $J$ 不変な内積 $g$ をもつ $2n$ 次元実ベクトル空間、 $\omega$ を対応する $(1,1)$ 形式、 $W\subseteq V$ を $J$ で不変な実 $2k$ 次元部分空間とする。 $W$ に $J$ の定める向きと $g$ の制限を与えると、 $\frac{1}{k!}\omega^k|_W$ は $W$ の体積形式である。
$(X,\omega)$ を Hermite 多様体、 $Y\subseteq X$ を $k$ 次元のコンパクトな複素部分多様体とすると、誘導計量についての $Y$ の体積は $\operatorname{vol}(Y)=\frac{1}{k!}\int_Y\omega^k$ である。
$(X,\omega)$ を $n$ 次元のコンパクト Kähler 多様体とする。 $1\le k\le n$ について $\omega^k$ は完全形式ではなく、 $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X)\ne0$ 、すなわち偶数次の Betti 数 $b_{2k}$ は正である。 $k$ 次元の閉な複素部分多様体 $Y$ （ $k\ge1$ ）について、 $[\alpha]\mapsto\int_Y\alpha$ は $H^{2k}_{\mathrm{dR}}(X)$ 上の $0$ でない線型形式である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。