Hodge 数の関係式

系 5.5（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト Kähler 多様体とする。

$h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}$ 。
$b_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}$ 。
奇数次の Betti 数 $b_{2m+1}$ は偶数である。
$0\le p\le n$ について $h^{p,p}\ge1$ 。
正則 $p$ 形式は $d$ 閉であり、 $0$ でなければ $d$ 完全でない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 264 件、定義なども含めて 300 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
    (0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
    ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
  - 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
- Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
Wirtinger の定理とその帰結✓定理 4.3・Kähler 多様体
- J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体
  - 外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
  - 形式的随伴の性質✓補題 6.2・Kähler 多様体この先をたどる →
  - Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体この先をたどる →
  - 型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 指数定理✓系 7.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Pic⁰ は複素トーラス✓定理 8.4・層コホモロジーと直線束

Hodge 数の関係式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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