∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性

命題 2.5（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(\Delta_{\bar\partial_E}\psi,\psi)=\|\bar\partial_E\psi\|^2+\|\bar\partial_E^*\psi\|^2$ 。したがって $\psi\in\mathcal{H}^{p,q}(X,E)$ は「 $\bar\partial_E\psi=0$ かつ $\bar\partial_E^*\psi=0$ 」と同値である。
$\mathcal{H}^{p,q}(X,E)$ 、 $\bar\partial_EA^{p,q-1}(E)$ 、 $\bar\partial_E^*A^{p,q+1}(E)$ は $L^2$ 内積について互いに直交する。
$\bar\star_E$ は $\mathcal{H}^{p,q}(X,E)$ から $\mathcal{H}^{n-p,n-q}(X,E^*)$ への共役線形な全単射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 93 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
  - 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
    (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解

∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件