数学 › 多様体論 › ベクトル場と微分形式

ΛkV∗\Lambda^k V^* の基底と次元

定理 5.4（「ベクトル場と微分形式」§5） ・ ✓公理まで証明済み

dim⁡V=n\dim V = n とし、(e1,…,en)(e_1,\dots,e_n) を VV の基底、(e1,…,en)(e^1,\dots,e^n) をその双対基底とする。1≤k≤n1\le k\le n のとき、

{ ei1∧⋯∧eik ∣ 1≤i1<i2<⋯<ik≤n }\{\,e^{i_1}\wedge\cdots\wedge e^{i_k}\ \mid\ 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\,\}

は ΛkV∗\Lambda^kV^* の基底である。したがって dim⁡ΛkV∗=(nk)\dim \Lambda^kV^* = \binom{n}{k} であり、k>nk > n のとき ΛkV∗={0}\Lambda^kV^* = \{0\} である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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