複素化の分解と基底

$V$ を複素構造 $J$ をもつ実ベクトル空間とする。

1. $\dim_{\mathbb{R}}V$ は偶数である。これを $2n$ とすると、$V_{\mathbb{C}}=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$、$\overline{V^{1,0}}=V^{0,1}$、$\dim_{\mathbb{C}}V^{1,0}=n$ で、$v\mapsto\frac12(v-iJv)$ は $(V,J)$ から $V^{1,0}$ への複素線型同型である。
2. $V^{*}_{\mathbb{C}}=V^{*1,0}\oplus V^{*0,1}$、$\overline{V^{*1,0}}=V^{*0,1}$ で、$\alpha\in V^{*}_{\mathbb{C}}$ の $V^{*1,0}$ 成分は $\alpha^{1,0}=\frac12(\alpha-i\,\alpha\circ J)$ である。$V^{*1,0}$ は $V^{0,1}$ の上で $0$ になる形式の全体に等しい。
3. $\theta^1,\dots,\theta^m$ が $V^{*}_{\mathbb{C}}$ の $\mathbb{C}$ 上の基底（$m=2n$）ならば、$\{\theta^I:|I|=k\}$ は $\Lambda^kV^{*}_{\mathbb{C}}$ の $\mathbb{C}$ 上の基底である。