Kodaira–Serre 双対

定理 4.1（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト複素多様体、 $E$ を正則ベクトル束とする。双線形写像

H^{p,q}(X,E)\times H^{n-p,n-q}(X,E^*)\to\mathbb{C},\qquad([\varphi],[\eta])\mapsto\int_X\varphi\wedge\eta

は代表元の取り方によらずに定まり、完全ペアリングである。すなわち $H^{n-p,n-q}(X,E^*)\cong H^{p,q}(X,E)^*$ で、とくに $\dim H^{p,q}(X,E)=\dim H^{n-p,n-q}(X,E^*)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 251 件、定義なども含めて 287 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
  - 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
    (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - (0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間この先をたどる →
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論この先をたどる →
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
層コホモロジーの有限性と Serre 双対✓系 5.2・層コホモロジーと直線束

Kodaira–Serre 双対

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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