Chern 接続の存在と一意性

定理 4.2（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§4）・ ✓公理まで証明済み

$E$ を複素多様体 $X$ 上の正則ベクトル束、 $h$ を $E$ の Hermite 計量とする。 $E$ の接続 $\nabla$ で

計量 $h$ と両立し、
$\nabla s$ の $(0,1)$ 成分が $\bar\partial_Es$ に等しい（ $\nabla^{0,1}=\bar\partial_E$ ）

ものがただ一つ存在する。これを $(E,h)$ の Chern 接続という。正則枠についての接続形式は

A=H^{-1}\partial H

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 105 件、定義なども含めて 128 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
  - 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
    (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
  - (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
  - 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
    複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    向き付け可能性定義 3.1・ストークスの定理
    正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理この先をたどる →
    概複素構造・正則接束・(p,q) 形式定義 3.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体

Chern 接続の存在と一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件