正則ベクトル束の ∂̄ 作用素

命題 3.1（「正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子」§3）・ ✓公理まで証明済み

正則ベクトル束 $E$ に対し、複素線型作用素 $\bar\partial_E:A^{p,q}(E)\to A^{p,q+1}(E)$ （すべての $p,q$ ）で次を満たすものがただ一つ存在する。

（Leibniz 則） $\beta\in A^k(X)$ 、 $\sigma\in A^{p,q}(E)$ について $\bar\partial_E(\beta\wedge\sigma)=\bar\partial\beta\wedge\sigma+(-1)^k\beta\wedge\bar\partial_E\sigma$ 。
開集合上の正則切断 $s$ について $\bar\partial_Es=0$ （ $\bar\partial_E$ は局所的な作用素で、開集合への制限と可換とする）。

この $\bar\partial_E$ は $\bar\partial_E^2=0$ を満たし、正則枠 $e_i$ について $\bar\partial_E(\sum\alpha^i\otimes e_i)=\sum\bar\partial\alpha^i\otimes e_i$ で与えられる。滑らかな切断 $s\in A^0(E)$ が正則切断であることと $\bar\partial_Es=0$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 104 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - $\Lambda^k V^*$ の基底と次元✓定理 5.4・ベクトル場と微分形式
- 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
    $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
    微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
- Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - ベクトル場の滑らかさの判定✓命題 3.2・ベクトル場と微分形式
- (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
  - (p,q) 型の形式定義 2.3・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- 関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
- (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
- 複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
  - 複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー（上で展開済み）
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 向き付け可能性定義 3.1・ストークスの定理
  - 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - 向き付け可能性のアトラスによる特徴づけ✓命題 3.2・ストークスの定理この先をたどる →
  - 概複素構造・正則接束・(p,q) 形式定義 3.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
Dolbeault の定理✓定理 5.1・層コホモロジーと直線束

正則ベクトル束の ∂̄ 作用素

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件