∂̄ の Hodge 定理

定理 3.4（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト Hermite 多様体、 $E$ を Hermite 正則ベクトル束とする。

$\mathcal{H}^{p,q}(X,E)$ は有限次元である。
$L^2$ 直交分解

A^{p,q}(E)=\mathcal{H}^{p,q}(X,E)\oplus\bar\partial_EA^{p,q-1}(E)\oplus\bar\partial_E^*A^{p,q+1}(E)

が成り立つ。 3. $\ker\bar\partial_E\cap A^{p,q}(E)=\mathcal{H}^{p,q}(X,E)\oplus\bar\partial_EA^{p,q-1}(E)$ で、各 Dolbeault 類はただ一つの調和代表元をもつ。したがって $\mathcal{H}^{p,q}(X,E)\to H^{p,q}(X,E)$ 、 $\psi\mapsto[\psi]$ は同型で、 $H^{p,q}(X,E)$ は有限次元である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 250 件、定義なども含めて 286 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- (0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体この先をたどる →
- ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 多様体上の軟化作用素✓補題 8.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
- $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間
  - 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
  - Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
- 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kodaira–Nakano の消滅定理✓定理 4.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
高い冪をかけたときの消滅✓系 4.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
層コホモロジーの有限性と Serre 双対✓系 5.2・層コホモロジーと直線束
Lefschetz の (1,1) 定理✓定理 8.2・層コホモロジーと直線束

∂̄ の Hodge 定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 8 件