Lefschetz の (1,1) 定理

定理 8.2（「層コホモロジーと直線束」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とする。 $a\in H^2(X,\mathbb{Z})$ について、次は同値である。

$a=c_1(L)$ となる正則直線束 $L$ が存在する。
$a$ の $H^2(X,\mathbb{C})$ での像は $(1,1)$ 型である。すなわち定理 5.1［Hodge 分解と Lefschetz 分解］の $K^{1,1}$ に入る。

したがって $\operatorname{NS}(X)$ は、 $H^2(X,\mathbb{Z})$ の元で $H^2(X,\mathbb{C})$ での像が $(1,1)$ 型であるもの全体に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 327 件、定義なども含めて 378 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指数完全列✓命題 7.1・層コホモロジーと直線束
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 対数の主枝定義 6.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
Picard 群と H¹(X, 𝒪*)✓定理 6.2・層コホモロジーと直線束
- H¹ と Čech 1 コサイクル✓補題 6.1・層コホモロジーと直線束
  - 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 正則コサイクルと正則ベクトル束✓補題 2.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - コサイクルからの再構成✓命題 2.2・ファイバー束・主束と接続
非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束
- 次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手
  - 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
定数層から構造層への写像は (0,k) 成分への射影✓補題 8.1・層コホモロジーと直線束
- 非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束（上で展開済み）
∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →

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正の直線束と Kähler 類✓命題 2.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

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