H¹ と Čech 1 コサイクル

$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ 上のアーベル群の層、$\mathfrak{U}=(U_i)_{i\in I}$ を開被覆とする。

1. 1 コサイクル $g$ に対し、$s_i\in G(\mathcal{F})(U_i)$ の族で $U_{ij}$ 上 $s_j-s_i=\varepsilon_{\mathcal{F}}(g_{ij})$ となるものがある。$\pi(s_i)$ は貼り合って $q_g\in\Gamma(X,Z(\mathcal{F}))$ を定め、$\iota_{\mathfrak{U}}[g]=\delta_{E_{\mathcal{F}}}(q_g)$ は $(s_i)$ の取り方によらない単射準同型 $\iota_{\mathfrak{U}}\colon\check H^1(\mathfrak{U},\mathcal{F})\to H^1(X,\mathcal{F})$ を定める。
2. （連結射の公式）$E\colon0\to\mathcal{F}\xrightarrow{u}\mathcal{M}\xrightarrow{v}\mathcal{Q}\to0$ を層の短完全列、$q\in\Gamma(X,\mathcal{Q})$ とし、$t_i\in\mathcal{M}(U_i)$ が $v(t_i)=q|_{U_i}$ をみたすとする。このとき $u(g_{ij})=t_j-t_i$ となる 1 コサイクル $g$ がただ一つあり、$\delta_E(q)=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ である。
3. （自然性）層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ について $H^1(X,\varphi)\,\iota_{\mathfrak{U}}[g]=\iota_{\mathfrak{U}}[\varphi(g)]$。
4. （細分）開被覆 $\mathfrak{V}=(V_k)_{k\in K}$ と写像 $\tau\colon K\to I$ が $V_k\subset U_{\tau(k)}$ をみたすとき、$(\tau^*g)_{kl}=g_{\tau(k)\tau(l)}|_{V_k\cap V_l}$ について $\iota_{\mathfrak{V}}[\tau^*g]=\iota_{\mathfrak{U}}[g]$。また $H^1(X,\mathcal{F})$ の任意の元は、ある開被覆 $\mathfrak{U}$ とその上の 1 コサイクル $g$ により $\iota_{\mathfrak{U}}[g]$ と書ける。