数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

調和形式の特徴づけ

命題 3.4（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(\Delta\omega,\omega)=\|d\omega\|^2+\|\delta\omega\|^2$ 。したがって $\Delta\omega=0$ と「 $d\omega=0$ かつ $\delta\omega=0$ 」は同値である。とくに連結な $M$ 上の調和関数は定数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
熱核の一意性✓命題 7.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

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