射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数

命題 5.8（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{P}^n$ では $0\le p\le n$ について $h^{p,p}=1$ で、 $p\ne q$ なら $h^{p,q}=0$ 。
複素トーラス $X=\mathbb{C}^n/\Gamma$ （ $\Gamma$ は格子）では $h^{p,q}=\binom np\binom nq$ で、 $H^{p,q}(X)$ は定数係数の形式 $dz_I\wedge d\bar z_J$ （ $|I|=p$ 、 $|J|=q$ ）の類を基底にもつ。
連結なコンパクト Riemann 面 $X$ は Kähler 多様体で、 $g=h^{1,0}$ とおくと $h^{0,1}=g$ 、 $b_1=2g$ 、 $h^{0,0}=h^{1,1}=1$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 291 件、定義なども含めて 329 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Fubini–Study 計量✓命題 4.1・Kähler 多様体
- Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量✓定理 5.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - Hartogs の延長定理✓定理 7.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
  - Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Wirtinger の定理とその帰結✓定理 4.3・Kähler 多様体
  - J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- ∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
  - Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体この先をたどる →
複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジー
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
- 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性この先をたどる →
外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

コンパクト Riemann 面は射影的✓系 7.1・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
複素トーラスが射影的になる条件✓系 7.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
射影空間の Picard 群とコホモロジー✓系 9.3・層コホモロジーと直線束
Riemann 面の種数✓系 9.5・層コホモロジーと直線束

射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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