Kähler 恒等式

定理 6.3（「Kähler 多様体」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(X,g)$ を Kähler 多様体とする。微分形式の上の作用素として

[\Lambda,\bar\partial]=-i\,\partial^{*},\qquad[\Lambda,\partial]=i\,\bar\partial^{*}

が成り立つ。随伴を取った形では

[L,\partial^{*}]=i\,\bar\partial,\qquad[L,\bar\partial^{*}]=-i\,\partial

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 127 件、定義なども含めて 150 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
形式的随伴の性質✓補題 6.2・Kähler 多様体
- 型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体（上で展開済み）
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
- J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
- 正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
    多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
    可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
    Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
    シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体
- 外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
- J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体

これを使っている定理証明で参照している 4 件

∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
三つの Laplacian の一致✓系 6.4・Kähler 多様体
Calabi の一意性定理✓命題 7.4・Kähler 多様体
Nakano の恒等式✓補題 3.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

Kähler 恒等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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