Riemann 面の種数

系 9.5（「層コホモロジーと直線束」§9）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を連結なコンパクト Riemann 面、 $g=h^{1,0}(X)$ とする。

$g=\dim H^0(X,\Omega^1_X)=\dim H^1(X,\mathcal{O}_X)=b_1(X)/2$ 。
$\deg K_X=2g-2$ 。
$\operatorname{Pic}^0(X)=\operatorname{Jac}(X)$ は $g$ 次元の複素トーラスである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 508 件、定義なども含めて 578 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dolbeault の定理✓定理 5.1・層コホモロジーと直線束
- 細層は非輪状✓補題 3.2・層コホモロジーと直線束
  - 関手的な脆弱分解✓補題 6.2・層コホモロジー
  - 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 細層定義 3.1・層コホモロジーと直線束
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- Dolbeault–Grothendieck の補題✓定理 7.1・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 1 変数の ∂̄ 方程式の解と径数への依存✓定理 6.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
- 非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束
  - 次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手この先をたどる →
射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Fubini–Study 計量✓命題 4.1・Kähler 多様体
  - Chern 接続の曲率✓命題 4.3・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 𝒪(k) の正則切断と Fubini–Study 計量✓定理 5.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - Wirtinger の定理とその帰結✓定理 4.3・Kähler 多様体この先をたどる →
  - ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
  - ∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- 複素射影空間の Betti 数✓補題 5.7・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ホモトピー同値は同型を誘導する✓系 3.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
  - 球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - Poincaré 双対の帰結✓系 6.5・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
Riemann 面の Riemann–Roch の定理✓命題 9.4・層コホモロジーと直線束
- 因子と直線束の対応✓定理 6.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
- 有理化は完全性を保つ✓補題 7.1・Morse 理論この先をたどる →
- 第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- Poincaré–Lelong の公式と Riemann 面上の次数✓定理 7.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- コンパクト複素多様体上の正則関数は定数✓定理 5.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
Pic⁰ は複素トーラス✓定理 8.4・層コホモロジーと直線束
- コンパクト複素多様体上の正則関数は定数✓定理 5.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- コンパクト多様体の整係数コホモロジー✓補題 8.3・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 定数層から構造層への写像は (0,k) 成分への射影✓補題 8.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- 複素トーラスとその間の正則写像✓命題 6.3・複素多様体と正則写像この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Riemann 面の種数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）