Pic⁰ は複素トーラス

定理 8.4（「層コホモロジーと直線束」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を連結なコンパクト Kähler 多様体とする。

$H^1(X,\mathbb{Z})\to H^1(X,\mathcal{O}_X)$ は単射で、その像 $\Gamma$ は複素ベクトル空間 $H^1(X,\mathcal{O}_X)\cong H^{0,1}(X)$ の格子（ $\mathbb{R}$ 上の基底が生成する部分群）である。
$\operatorname{Pic}^0(X)\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)/\Gamma$ で、これは $h^{0,1}=b_1/2$ 次元の複素トーラスである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 429 件、定義なども含めて 491 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクト複素多様体上の正則関数は定数✓定理 5.4・複素多様体と正則写像
- 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論この先をたどる →
- 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - 絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論（上で展開済み）
- 複素部分多様体は複素多様体✓補題 5.2・複素多様体と正則写像
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
コンパクト多様体の整係数コホモロジー✓補題 8.3・層コホモロジーと直線束
- Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論この先をたどる →
  - 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
- 非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
- 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
  - 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論この先をたどる →
- 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー
  - ホモロジー群定義 2.3・特異ホモロジー
  - 命題 2.2✓特異ホモロジー
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- 定数層のコホモロジーと特異コホモロジー✓定理 4.1・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
- 有限生成の場合✓系 3.5・コホモロジーと双対性この先をたどる →
定数層から構造層への写像は (0,k) 成分への射影✓補題 8.1・層コホモロジーと直線束
- 非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- Kodaira–Serre 双対✓定理 4.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- Wirtinger の定理とその帰結✓定理 4.3・Kähler 多様体この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
- ∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
複素トーラスとその間の正則写像✓命題 6.3・複素多様体と正則写像
- 自由で真性不連続な作用による商✓補題 6.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- 可縮な空間の基本性質✓命題 2.9・基本群と被覆空間この先をたどる →
- 持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間この先をたどる →
- リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 導関数が消えれば定数✓命題 5.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Riemann 面の種数✓系 9.5・層コホモロジーと直線束

Pic⁰ は複素トーラス

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