Hodge 分解

定理 5.1（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とする。

$\mathcal{H}^k_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal{H}^{p,q}(X)$ で、 $\overline{\mathcal{H}^{p,q}(X)}=\mathcal{H}^{q,p}(X)$ 。
$H^k(X,\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}K^{p,q}$ で、 $\overline{K^{p,q}}=K^{q,p}$ 。この分解は Kähler 計量の取り方によらない。
各 Dolbeault 類は $d$ 閉な代表元をもち、 $d$ 閉な代表元 $\alpha$ を使って $[\alpha]_{\bar\partial}\mapsto[\alpha]_d$ と定めた写像 $H^{p,q}(X)\to K^{p,q}$ は代表元の取り方によらない同型である。

したがって、3 の同型で同一視すれば

H^k(X,\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X),\qquad\overline{H^{p,q}(X)}=H^{q,p}(X).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 256 件、定義なども含めて 292 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
    関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - (0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
    内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体この先をたどる →
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
    可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理（上で展開済み）
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
    正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
- 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - 共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
  - $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間この先をたどる →
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
  - Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論
    Riesz の補題✓補題 2.1・Fredholm 理論
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 9 件

∂∂̄ 補題✓補題 5.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kähler 多様体の Bott–Chern コホモロジー✓系 5.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 数の関係式✓系 5.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge–Riemann の双線形関係式✓定理 7.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Hodge 指数定理✓系 7.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
弱 Lefschetz 定理✓系 4.4・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
複素トーラスが射影的になる条件✓系 7.3・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理
Lefschetz の (1,1) 定理✓定理 8.2・層コホモロジーと直線束
Pic⁰ は複素トーラス✓定理 8.4・層コホモロジーと直線束

Hodge 分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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