Hodge–Riemann の双線形関係式

定理 7.2（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト Kähler 多様体、 $k\le n$ とする。

$a\in H^{p,q}(X)$ 、 $b\in H^{p',q'}(X)$ （ $p+q=p'+q'=k$ ）で $(p,q)\ne(p',q')$ なら $Q(a,b)=0$ 。
$0$ でない原始類 $a\in P^{p,q}(X)$ （ $p+q=k$ ）について

i^{p-q}(-1)^{k(k-1)/2}\,Q(a,a)=i^{p-q}(-1)^{k(k-1)/2}\int_X\alpha\wedge\bar\alpha\wedge\omega^{n-k}\gt0 .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 300 件、定義なども含めて 340 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hodge 分解✓定理 5.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- ∂̄ の Hodge 定理✓定理 3.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
    (0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
    ∂̄_E の形式的随伴✓命題 2.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
  - 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
    $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間この先をたどる →
    反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論この先をたどる →
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - ∂̄ 調和形式の特徴づけと直交性✓命題 2.5・Hodge 分解と Lefschetz 分解この先をたどる →
Lefschetz 分解✓定理 6.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- 難 Lefschetz 定理✓定理 6.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 三つの Laplacian の一致✓系 6.4・Kähler 多様体この先をたどる →
  - sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
  - Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論この先をたどる →
  - sl(2,C) の既約表現の分類✓定理 10.1・Lie 環の構造論
Weil の公式✓補題 7.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge スターと型✓補題 2.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
- sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解（上で展開済み）
Hodge スターと型✓補題 2.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Hodge スター定義 2.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

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