sl(2) 加群の原始分解

$V$ を有限次元の複素ベクトル空間、$L,\Lambda,H$ を上の関係式をみたす $V$ の線形変換とし、$V_\nu=\lbrace v : Hv=\nu v\rbrace$、$P_\nu=\lbrace v\in V_\nu : \Lambda v=0\rbrace$ とおく。

1. $V=\bigoplus_{\nu\in\mathbb{Z}}V_\nu$ で、$LV_\nu\subset V_{\nu+2}$、$\Lambda V_\nu\subset V_{\nu-2}$。
2. $m\ge0$ なら $L^m\colon V_{-m}\to V_m$ は同型である。
3. $m\ge0$ なら $P_{-m}=\ker\bigl(L^{m+1}\colon V_{-m}\to V_{m+2}\bigr)$ であり、$\nu\gt0$ なら $P_\nu=0$。
4. 各整数 $\nu$ について $V_\nu=\bigoplus_{j\ge\max(0,\nu)}L^jP_{\nu-2j}$ で、この範囲の $j$ について $L^j$ は $P_{\nu-2j}$ の上で単射である。
5. $L$ と $\Lambda$ は冪零で、$w=e^Le^{-\Lambda}e^L$ とおくと、$\alpha\in P_{-m}$、$0\le j\le m$ について