難 Lefschetz 定理

定理 6.2（「Hodge 分解と Lefschetz 分解」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を $n$ 次元のコンパクト Kähler 多様体、 $\omega$ をその Kähler 形式とする。 $0\le k\le n$ について

L^{n-k}\colon H^k(X,\mathbb{R})\to H^{2n-k}(X,\mathbb{R}),\qquad[\alpha]\mapsto[\omega^{n-k}\wedge\alpha]

は同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 289 件、定義なども含めて 328 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
    関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    共変微分と Dirac 型作用素の交換✓補題 8.11・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    弱解は H¹ に入る✓補題 8.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Gårding の不等式✓補題 8.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
    $Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間この先をたどる →
    反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
    Riesz の定理✓系 2.2・Fredholm 理論この先をたどる →
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
三つの Laplacian の一致✓系 6.4・Kähler 多様体
- Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体
  - 外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
  - 形式的随伴の性質✓補題 6.2・Kähler 多様体
    型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体（上で展開済み）
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
    J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
    正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像この先をたどる →
    Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子この先をたどる →
    Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
  - 型の直交性と sl(2) の関係式✓補題 5.3・Kähler 多様体
    外積と内部積の反交換関係✓補題 5.2・Kähler 多様体
    J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
sl(2) 加群の原始分解✓補題 6.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
- Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論
  - 単純イデアルへの分解✓定理 8.2・Lie 環の構造論
    Cartan の判定法✓定理 7.2・Lie 環の構造論この先をたどる →
  - Casimir 作用素の性質✓補題 9.1・Lie 環の構造論
- sl(2,C) の既約表現の分類✓定理 10.1・Lie 環の構造論

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Lefschetz 分解✓定理 6.4・Hodge 分解と Lefschetz 分解

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